а)

$\Delta AHC$ и $\Delta BHC$ – прямоугольные, $MH=\frac{AC}2=CM,NH=\frac{CB}2=CN$
$\Delta MCN=\Delta MHN$ по трем сторонам, значит, $\angle MHN=\angle MCN=90°$

б)

$\Delta ACQ: QM$ – медиана, $AH=4,HB=2\Rightarrow AH:HB=2:1$ , считая от вершины, тогда $AB$ – медиана, значит, $CB=BQ$
$CH=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2\space(\Delta ACH)$
$BC=BQ=\sqrt{CH^2+BH^2}=\sqrt{8+4}=2\sqrt3\Rightarrow NC=\sqrt3,NQ=3\sqrt3,QC=4\sqrt3\space(\Delta CHB)$
$AC=\sqrt{AH\cdot AB}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt6\space(\Delta ABC)\Rightarrow CM=\sqrt6$
$QC=4\sqrt3,CM=\sqrt6\Rightarrow QM=\sqrt{16\cdot3+6}=3\sqrt6$ (по т. Пифагора для $\Delta QCM$ )
$QH=2\sqrt6,HM=\sqrt6$ ( $\Delta ACQ:QM$ – медиана)
$NH=3$ (средняя линия треугольника $ABC$ , параллельная $AB=6$ )
$NH=\sqrt{MN^2-HM^2}=\sqrt{9-6}=\sqrt3\space(\Delta MHN)$
$\Delta PNC\sim\Delta NQH\space(\angle PNC=\angle QNH$ – вертикальные, $\angle NCP=\angle NHQ=90°)\Rightarrow \frac{PC}{QH}=\frac{NC}{NH}\Rightarrow PC=\frac{NC\cdot QH}{NH}=\frac{\sqrt3\cdot2\sqrt6}{\sqrt3=2\sqrt6}$
$S_{PQM}=\frac12\cdot QC\cdot(PC+CM)=\sqrt12\cdot4\sqrt3\cdot(2\sqrt6+\sqrt6)=6\sqrt{18}=18\sqrt2$

Задания для подготовки к ЕГЭ Признаки равенства треугольников