Задания для подготовки к ЕГЭ Ортоцентр и его свойства

Точка \(O\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая \(BO\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(P\).
а) Докажите, что \(\angle POC=\angle PCO\).
б) Найдите площадь треугольника \(APC\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(8\), а \(\angle ABC=60^\circ\).

В остроугольном треугольнике \(ABC\) \(\angle A=60^\circ\). Высоты \(BN\) и \(CM\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\). Точка \(O\) — центр окружности, описанной около \(\triangle ABC\).
а) Докажите, что \(AH=AO\).
б) Найдите площадь \(\triangle AHO\), если \(BC=6\sqrt3\), \(\angle ABC=45^\circ\).

Точка \(O\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая \(OB\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(P\).
а) Докажите, что \(\angle POC=\angle PCO\).
б) Найдите площадь треугольника \(APC\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(4\), а \(\angle ABC=120^\circ\).

Около остроугольного треугольника \(ABC\) с различными сторонами описали окружность с диаметром \(BN\). Высота \(BH\) пересекает эту окружность в точке \(K\).
а) Докажите, что \(AN=CK\).
б) Найдите \(KN\), если \(\angle BAC=35^\circ\), \(\angle ACB=65^\circ\), а радиус окружности равен \(12\).

Точка \(O\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая \(OB\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(P\).
а) Докажите, что \(OP=AP\).
б) Найдите расстояние от точки \(P\) до прямой \(AC\), если \(\angle ABC=120^\circ\), а радиус описанной окружности равен \(18\).

В треугольнике \(ABC\) угол \(ABC\) тупой, \(H\) — точка пересечения продолжений высот, угол \(AHC\) равен \(60^\circ\).
а) Докажите, что угол \(ABC\) равен \(120^\circ\).
б) Найдите \(BH\), если \(AB=7\) и \(BC=8\).

Высоты \(BB_1\) и \(CC_1\) остроугольного треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\).
а) Докажите, что \(\angle AHB_1=\angle ACB\).
б) Найдите \(BC\), если \(AH=4\) и \(\angle BAC=60^\circ\).

В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AA'\) и \(BB'\), точка \(O\) — центр его описанной окружности. Докажите, что расстояние от точки \(A'\) до прямой \(BO\) равно расстоянию от точки \(B'\) до прямой \(AO\).

В треугольнике \(ABC\) сторона \(AC\) наименьшая. На сторонах \(AB\) и \(BC\) взяты точки \(K\) и \(L\) соответственно, причём \(KA = AC = CL\). Пусть \(M\) — точка пересечения \(AL\) и \(KC\), а \(I\) — точка пересечения биссектрис треугольника \(ABC\). Докажите, что прямая \(MI\) перпендикулярна прямой \(AC\).

Пусть \(M\) — основание перпендикуляра, опущенного из вершины \(D\) параллелограмма \(ABCD\) на диагональ \(AC\). Докажите, что перпендикуляры к прямым \(AB\) и \(BC\), восстановленные в точках \(A\) и \(C\) соответственно, пересекутся на прямой \(DM\).

В прямоугольнике \(ABCD\) биссектрисы угла \(B\) и внешнего угла \(D\) пересекают сторону \(AD\) и прямую \(AB\) в точках \(K\) и \(M\) соответственно. Докажите, что отрезок \(KM\) перпендикулярен диагонали \(BD\) прямоугольника.

Пусть \(O\) — центр описанной окружности треугольника \(ABC\), а \(H\) — его ортоцентр. Докажите, что
а) \(BH = 2OM\), если \(M\) — середина стороны \(AC\).
б) \(\angle ABH = \angle CBO\).

Докажите, что точка \(H_B\), симметричная ортоцентру \(H\) треугольника \(ABC\) относительно середины стороны \(AC\), лежит на описанной окружности треугольника и диаметрально противоположна точке \(B\).

Докажите, что точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно стороны, лежит на описанной окружности треугольника.

Пусть \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) — высоты треугольника \(ABC\). Докажите, что
а) \(\angle BA_1C_1 = \angle CA_1B_1\).
б) прямые \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) являются биссектрисами углов орто-треугольника \(A_1B_1C_1\).