Задания для подготовки к ЕГЭ Окружность. Хорды и касательные
Сторона \(AB\) квадрата \(ABCD\) равна 1 и является хордой некоторой окружности, причем остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касательной \(CK\), проведенной из вершины \(C\) к этой окружности, равна 2.
a) Докажите, что длина отрезка, соединяющего центр квадрата и центр окружности равна длине отрезка \(CK\).
б) Найдите диаметр окружности.
В окружность вписан треугольник \(ABC\), в который также вписана другая окружность с центром в точке \(O\). Прямая \(BO\) вторично пересекает описанную окружность в точке \(P\).
а) Докажите, что треугольник \(AOP\) равнобедренный.
б) \(\angle ABC=120°\), радиус описанной окружности равен 18. Найдите расстояние от точки \(P\) до прямой \(AC\).
\(KOFPDL\) – правильный шестиугольник, вокруг которого описана окружность так, что \(O\) – центр окружности, \(D\) лежит на окружности. Прямая \(DO\) пересекает вторично окружность в точке \(B\). Хорды \(AB\) и \(BC\) проходят через вершины \(K\) и \(F\) правильного шестиугольника \(KOFPDL\) соответственно.
а) Докажите, что \(AK:KB=3:7\).
б) Пусть \(OD=14\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).
\(CC_1\) и \(AA_1\) – высота и медиана остроугольного треугольника \(ABC\) соответственно. Образованный четырехугольник \(AC_1A_1C\) вписан в окружность.
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный.
б) Известно, что \(AA_1:CC_1=4:3\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).
Сторона \(AC\) остроугольного треугольника \(ABC\) является касательной к окружности, которая делит стороны \(AB\) и \(BC\) на три равные части.
а) Докажите, что \(AB=BC\).
б) \(AH\) – высота, опущенная на сторону \(BC\). Найдите \(BH:HC\).
\(BC\) – основание равнобедренного треугольника \(ABC\). Из вершины \(B\) на сторону \(AC\) опущена медиана \(BM\), на которой, как на диаметре, построена окружность с центром в точке \(O\), пересекающая повторно сторону \(BC\) в точке \(K\), а сторону \(AB\) в точке \(N\).
а) Докажите, что \(BK=3CK\).
б) Известно, что \(BK=18,BN=17\). Найдите \(AB\).
В прямоугольной трапеции \(ABCD\), для которой \(\angle BAD=90°\), на стороне основания \(BC\) отмечена точка \(M\) так, что \(AMCD\) – вписанный четырехугольник в окружность. Большее основание \(AD\) –диаметр описанной окружности.
а) Докажите равенство углов \(BAM\) и \(CAD\).
б) \(AB=6,BC=4BM,Ac\cap BD=O. S_{\Delta AOB}=?\)
Точка \(O\) – центр окружности, высекающей на сторонах трапеции \(ABCD\) равные хорды. Боковая сторона \(AB\) трапеции пересекается окружностью в точках \(K\) и \(L\).
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Дано: \(AK=11,KL=10,LB=4\). Найдите высоту трапеции.
В параллелограмме \(ABCD\) на прямой \(CD\) за точку \(D\) отмечена точка \(K\), на прямой \(AD\) за точку \(D\) отмечена точка \(E\) так, что точки \(A,B,C,E,K\) лежат на одной окружности.
а) Докажите, что \(BE=BK\).
б) Известно, что \(\angle ABC=135°\). Найдите \(KE:AC\).
В трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) вписаны две окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) так, что первая окружность касается оснований и боковой стороны \(AB\), а вторая окружность касается оснований и боковой стороны \(CD\). Также известно, что \(AB=10,BC=9,CD=30,AD=39\).
а) Докажите, что \(\angle O_1AD+\angle AO_1O_2=180°\).
б) Найдите длину отрезка \(O_1O_2\).
Дан острый угол \(\angle BAD\), для которого проведена биссектриса \(AC\). Известно, что \(BC\perp AC,BD\perp AD\).
а) Докажите, что \(AC^2+CD^2=AD^2+DB^2\).
б) Дано: \(\cos \angle ABC=\frac38,AC\cap BD=T\). Найдите \(AT:TC\).
Между двумя параллельными прямыми заключено две некасающихся друг друга окружности с центрами в точках \(O\) и \(O_1\). Общая касательная пересекает данные прямые в точках \(C\) и \(D\),касательная, проведенная только к окружности с центром в точке \(O\), пересекает заданные прямые под прямым углом в точках \(A\) и \(B\), причем точки \(A,D\) лежат на одной прямой, точки \(B,C\) – на второй, прямые \(AB\) и \(CD\) не пересекаются внутри заданных параллельных прямых.
а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно \(CD\).
б) Пусть \(M\) – точка касания окружности с центром \(O\) и прямой \(CD\)\(CD.CM=2,MD=50\). Найдите \(BO_1\).
Точка \(H\) – пересечение высот \(BB_1\) и \(CC_1\) остроугольного треугольника \(ABC\). Около данного треугольника описана окружность с диаметром \(AP\).
а) Докажите, что отрезок \(BC\) делится пополам прямой \(HP\).
б) Известно, что \(\angle BPH=120°\), \(PH\) вторично пересекает окружность, описанную около треугольника \(ABC\), в точке \(M\), расстояние от центра окружности до прямой \(BC\) равно 4. Найдите \(MC_1\).
Об остроугольном треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle A\ne \angle B\ne\angle C\). Вокруг данного треугольника описали окружность с диаметром \(BN\). \(BH\) – высота треугольника, опущенная из вершины \(B\),пересекает окружность в точке \(K\).
а) Докажите, что \(AN=KC\).
б) Дано: \(\angle BAC=35°, \angle ACB=65°, R=12, R\) – радиус окружности. Найдите \(NK\).
\(\angle C\) – прямой угол прямоугольного треугольника \(ABC\), на сторонах которого построены равнобедренные прямоугольные треугольники \(ACK,ABL,BCM:\angle K=\angle L=\angle M=90°\).
а) Докажите, что \(LC\) – высота треугольника \(KML\).
б) Известно, что \(LC=4\). Найдите \(S_{\Delta KLM}\).
