Задания для подготовки к ЕГЭ Метод площадей

Точки \(M\), \(N\), \(P\) лежат на сторонах \(AB\), \(BC\), \(CA\) треугольника \(ABC\), причем \(AM:AB = BN:BC = CP:CA = 1:3\). При пересечении отрезков \(AN\), \(BP\), \(CM\) образуется треугольник \(A_1B_1C_1\), площадь которого равна \(1\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами \(13\), \(14\) и \(15\).

На сторонах \(AC\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно так, что \(AM : MC = 4 : 5, BN : BC = 0{,}25.\) Отрезки \(BM\) и \(AN\) пересекаются в точке \(P\). Найдите площадь треугольника \(APM\), если площадь треугольника \(ABC\) равна \(63\).

Внутри равностороннего треугольника со стороной \(m\) движется точка. Докажите, что сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника не меняется, и найдите эту сумму.

В треугольнике со сторонами \(a, b, c\) радиус вписанной окружности равен \(r=\frac{a+b-c}{2}\). Докажите, что треугольник является прямоугольным.

Внутри треугольника \(ABC\) взяты точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) так, что \(B_1\) — середина \(AA_1\), \(C_1\) — середина \(BB_1\), \(A_1\) — середина \(CC_1\). Найдите отношение площадей треугольников \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\).