Задания для подготовки к ЕГЭ Биссектриса и её свойства
На продолжении стороны \(AC\) за вершину \(A\) треугольника \(ABC\) отмечена точка \(D\) так, что \(AD=AB\). Прямая, проходящая через точку \(A\), параллельно \(BD\), пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\).
a) Докажите, что \(AM\) – биссектриса треугольника \(ABC\).
6) \(AC=30,BC=18,AB=24,S_{AMBD}-?\)
\(KN\) и \(MN\) – биссектрисы внешних углов треугольника \(KML\). Точки \(K,N,M\) лежат на одной окружности с центром в точке \(O\).
а) Докажите, что четырехугольник \(LKOM\) можно вписать в окружность.
б) \(S_{\Delta KMO}=27\sqrt3,\angle KLM=120°\). Найдите радиус описанной около треугольника \(KLM\) окружности.
В окружность с диаметром \(AB\) вписан треугольник \(ABC\). Биссектрисы углов \(A,B,C\) треугольника \(ABC\) пересекают окружность в точках \(A_1,B_1,C_1\) соответственно.
а) Докажите, что \(\angle A_1BB_1=45°\).
б) Дано: \(AB=23,\angle A=60°\). Найдите \(B_1C_1\).
Точка \(O\) – точка пересечения биссектрис \(AD\) и \(CE\) треугольника \(ABC\). Известно, что \(\angle AOC=120°\).
а) Докажите, точки \(B,E,O\) и \(D\) лежат на одной окружности.
б) Дано: \(BC=4,\angle BED=75°\). Найдите \(S_{\Delta ABC}\).
Точка \(M\) – точка пересечения биссектрисы внутреннего угла при вершине \(B\) и биссектрисы внешнего угла при вершине \(C\) остроугольного треугольника \(ABC\). Точка \(N\) – точка пересечения биссектрисы внутреннего угла при вершине \(C\) и биссектрисы внешнего угла при вершине \(B\) того же треугольника.
а) Докажите, что \(\angle ACB\) вдвое больше \(\angle BMN\).
б) Известно, что \(AB=AC=5,BC=6\). Найдите \(BM\).
В параллелограмме \(ABCD\) биссектрисы углов \(C\) и \(D\) пересекаются в точке \(M\).
а) Докажите, что расстояния от точки \(M\) до сторон \(BC\) и \(AD\) равны.
б) Найдите площадь треугольника \(AMB\), если \(AD=21,\angle C=60°\), а расстояние от точки \(M\) до стороны \(CD\) равно 11.
Дан равнобедренный треугольник \(ABC\). Известно, что угол при вершине \(A\) составляет 120°. Также опущена биссектриса из угла \(B\), точка пересечения биссектрисы и противоположной стороны – точка \(D\). В данный треугольник вписан прямоугольник \(DEHF\); \(FH\) лежит на стороне \(BC\), \(E\) – на стороне \(AB\).
а) Докажите, что \(FH\) вдвое больше \(DF\).
б) Известно, что \(AB=12\). Найдите площадь вписанного в данный треугольник \(ABC\) прямоугольника.
