а) Пусть $I$ – точка пересечения внутренних биссектрис.

$M$ – равноудалена от $AB,BC,AC\Rightarrow M$ лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $A$ .
$N$ – аналогично лежит на этой же биссектрисе
Получаем, что прямая $NM$ проходит через точку $A:\angle BMN=\angle IMA$
$\angle AMC+\angle AIC=\left(180°-\frac12(360°-\angle A-\angle C)\right)+\left(180°-\frac12(\angle A+\angle C)\right)=180°\Rightarrow$
$AICM$ – вписанный четырехугольник, откуда $2\angle AMI=2\angle ACI=\angle ACB.$ ч.т.д.

б) $\cos\angle ABC=\frac35$

$\sin\angle AIC=\cos\left(\frac12\angle ABC\right)=\sqrt{\frac{1+\frac35}{2}}=\frac2{\sqrt5}$
Биссектрисы внутреннего и внешнего угла перпендикулярны, значит, $IM$ – диаметр окружности $IAMC$
По теореме синусов: $IM=\frac{AC}{\sin\angle AIC}=\frac{5\sqrt5}2$
Пусть $l$ – длина биссектрисы из вершины $B$ . По теореме косинусов: $l^2=6^2+\left(\frac6{11}\cdot5\right)^2-2\cdot6\cdot\frac6{11}\cdot5\cdot\frac35=\frac{2880}{121}\Rightarrow l=\frac{24\sqrt5}{11}$
По свойству биссектрисы: $BI:l=6:\left(6+\frac6{11}\cdot5\right)=11:16\Rightarrow BI=\frac{3\sqrt5}2\Rightarrow BM=BI+IM=4\sqrt5$

Задания для подготовки к ЕГЭ Биссектриса и её свойства