Задания ЕГЭ по математике
Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение
\[ax^4 - 2x^3 + (a^3 - a)x^2 - (2a^2 - 2)x = -ax^3 + 2x^2 - (a^3 - a)x + 2a^2 - 2\]
имеет ровно два различных корня.
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.
б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC = 10 и AB = 24.
Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой: \[A = k\theta_0 \cdot \sqrt{\frac{\tau^2}{(T^2 - \tau^2)^2 + n^2\tau^2 T^2}},\]
где \(k = 0{,}91\) — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны,
\(\theta_0 = 9^\circ\) — угол наибольшего волнового склона,
\(\tau\) — период волны (в секундах),
\(T = 14{,}7 \, \text{с}\) — период свободных качаний корабля на тихой воде,
\(n = 0{,}0792\) — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды.
При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
Решите неравенство: \[\frac{2 \cdot 8^{x-1}}{2 \cdot 8^{x-1} - 1} \geq \frac{3}{8^{x} - 1} + \frac{8}{64^x - 5 \cdot 8^x + 4}.\]
В правильном тетраэдре \(ABCD\) все рёбра равны \(6\). На рёбрах \(AB\) и \(AD\) отмечены точки \(M\) и \(K\) соответственно так, что \(AM = AK = 4\).
а) Докажите, что плоскость \(CMK\) делит тетраэдр \(ABCD\) на два многогранника, объёмы которых относятся как \(5:4\).
б) Найдите косинус угла между прямой \(AC\) и плоскостью \(CMK\).
а) Решите уравнение: \[4 \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 2\sqrt{2} \cos(\pi - x) = 2.\]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{17\pi}{2};\, 10\pi\right]\).
В июле 2030 года планируется взять кредит 380 000 рублей в банке на три года. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 50 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами?
На рисунке изображён график функции вида \(f(x) = \frac{k}{x}\). Найдите значение \(f(10)\).
Заказ на изготовление 112 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 2 детали больше?
Автомобиль, движущийся со скоростью \(v_0 = 15 \, \text{м/с}\), начал торможение с постоянным ускорением \(a = 2 \, \text{м/с}^2\).
За \(t\) секунд после начала торможения он прошёл путь: \[S = v_0 t - \frac{at^2}{2}\]
Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал \(36\) метров. Ответ дайте в секундах.
На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−10; 7). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−2; 6].
Найдите значение выражения \[\log_{0,6} 50 - \log_{0,6} 18.\]
Решите уравнение: \[\sqrt{99 - 7x} = 6.\]
Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:
| Выигрыш (в рублях) | 50 | 500 | 2 000 | 10 000 | 100 000 |
| Число выигрышных билетов | 1 000 | 200 | 50 | 10 | 2 |
Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,2. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.