Задания для подготовки к ЕГЭ Задачи формата ЕГЭ

Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от \(0\) до \(20\)  включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил \(15\). Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно \(S\).

\(\textbf{а)}\) Приведите пример, когда \(S<15.\)

\(\textbf{б)}\) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если \(S = 13\)?

\(\textbf{в)}\) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если \(S=13\)?

Даны \(n\) различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию \((n \geq 3)\)

\(\textbf{а)}\) Может ли сумма всех данных чисел быть равной \(14\)?

\(\textbf{б)}\) Каково наибольшее значение \(n\), если сумма всех данных чисел меньше \(900\)?

\(\textbf{в) }\)Найдите все возможные значения \(n\), если сумма всех данных чисел равна \(123\).

Последовательность \(a_1, a_2, \dots, a_6\) состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть \(M_k\) — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме \(k\)-го. Известно, что\(M_1 = 7, \ M_2 = 6\)

\(\textbf{a)}\) Приведите пример такой последовательности, для которой \(M_3 = 6,4\)

\(\textbf{б)}\) Существует ли такая последовательность, для которой \(M_3 = 5\)

\(\textbf{в)}\) Найдите наименьшее возможное значение \(M_3\)

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше \(40\) и меньше \(100\)
\(\textbf{a) }\)Может ли на доске быть \(5\) чисел?
\(\textbf{б)}\) Может ли на доске быть \(6\) чисел?
\(\textbf{b) }\)Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Целое число \(S\) является суммой не менее пяти последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.

\(\textbf{а)}\) Может ли \(S\) равняться \(9\)?

\(\textbf{б)}\) Может ли \(S\) равняться \(2\)?

\(\textbf{в)}\) Найдите все значения, которые может принимать \(S\)

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на \(3.\)

\(\textbf{а)}\) Могло ли в результате такой операции получиться число \(201\)?

\(\textbf{б)}\) Могло ли в результате такой операции получиться число \(251\)?

\(\textbf{в)}\) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от \(600\) до \(999\) включительно?

Участники одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее \(73\) баллов. Из-⁠за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по \(5\) баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось. 

\(\textbf{а)}\) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

\(\textbf{б)}\) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

\(\textbf{в)}\) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил \(80\), средний балл участников, сдавших тест, составил \(90\), а средний балл участников, не сдавших тест, составил \(65\). После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен \(93\), а не сдавших — \(69\). При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в \(11\) раз больше, либо в \(11\) раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна \(2231\).

\(\textbf{а)}\) Может ли последовательность состоять из двух членов?

\(\textbf{б)}\) Может ли последовательность состоять из трех членов?

\(\textbf{в)}\) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 1 и 6.

а)  Может ли сумма этих чисел быть равна 173?

б)  Может ли сумма этих чисел быть равна 109?

в)  Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?

За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью  — 0,5 очка, за про­иг­рыш  — 0 очков. В тур­ни­ре при­ни­ма­ют уча­стие m маль­чи­ков и d де­во­чек, причём каж­дый иг­ра­ет с каж­дым два­жды.

а)  Ка­ко­во наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать де­воч­ки, если m = 2, d = 2?

б)  Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если m + d = 10?

в)  Ка­ко­вы все воз­мож­ные зна­че­ния d, если из­вест­но, что в сумме маль­чи­ки на­бра­ли ровно в 3 раза боль­ше очков, чем де­воч­ки?

На шести елках сидят шесть сорок – по одной на каждой елке. Елки растут в ряд с интервалом в 10 м. Если какая-то сорока перелетает с одной елки на другую, то какая-нибудь другая сорока обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении.

a) Могут ли все сороки собраться на одной елке?
б) А если сорок и елок семь?
в) А если елки стоят по кругу?

a) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере две трети задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере две трети школьников. Известно также, что по крайней мере две трети школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере две трети задач контрольной. Могло ли такое быть?
б) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на три четверти?
в) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на семь девятых?

По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.

а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?

б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?

в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?

Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.
Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
a) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше:
a) 99;
6) 101;
в) 100.