Задания для подготовки к ЕГЭ Подготовительные задачи
Найдите все пары натуральных чисел \(a\) и \(b\), удовлетворяющие равенству
\(\overline{ab} = a^b + 23\)
В левой части равенства стоит число, получаемое приписыванием десятичной записи числа \(a\) перед десятичной записью числа \(b\).
Оля участвовала в викторине по истории. За каждый правильный ответ участнику начисляется 8 баллов, за каждый неверный — списывается 8 баллов, за отсутствие ответа списывается 3 балла. По результатам викторины Оля набрала 35 баллов. На сколько вопросов Оля ответила правильно, если в викторине было 24 вопроса?
Управдом Остап Бендер собирал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич из 105-й квартиры поинтересовался, почему у них во втором подъезде надо собрать денег на \(40\%\) больше, чем в первом, хотя квартир там и тут поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что двузначные номера стоят вдвое, а трёхзначные — втрое больше, чем однозначные. Сколько квартир в подъезде?
В классе находятся учитель и несколько учеников. Известно, что возраст учителя на 24 года больше среднего возраста учеников и на 20 лет больше среднего возраста всех присутствующих в классе. Сколько учеников находится в классе?
Килограмм говядины с костями стоит 78 рублей, килограмм говядины без костей — 90 рублей, а килограмм костей — 15 рублей. Сколько граммов костей в килограмме говядины с костями?
Докажите, что для любых натуральных чисел \(n\) и \(m\) существуют целые числа \(p\) и \(q\), такие что \(\text{НОД}(n;m) = pn + qm\).
Решите в целых числах уравнение \(x^2 = 5 + y^2\).
Докажите, что если \(\text{НОД}(n;m) > 1\), где \(n,m \in \mathbb{N}\), то не существует целых чисел \(p\) и \(q\), таких что \(pn + qm = 1\).
В прямоугольной таблице 8 столбцов, сумма чисел в каждом столбце равна 10, а сумма чисел в каждой строке равна 20. Сколько в таблице строк?
В школьной столовой дети покупают либо один хот-дог, либо одну ватрушку, либо один хот-дог и одну ватрушку. В один из дней было продано 57 хот-догов и 36 ватрушек. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и хот-дог, и ватрушку?
Шахматист сыграл в турнире 100 партий и набрал \(52,5\) очка. При этом за победу дается 1 очко, за ничью дается \(0,5\) очка. На сколько больше он выиграл партий, чем проиграл?
В футбольном турнире участвовало 6 команд, каждая сыграла с каждой ровно один матч. За победу дается 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. В сумме команды набрали 42 очка. Сколько ничьих было в этом турнире?
Маленькие детки кушали конфетки. Каждый съел на 7 конфет меньше, чем все остальные вместе, но все же больше одной конфеты. Сколько всего конфет было съедено?
Артемон подарил Мальвине букет из аленьких цветочков и чёрных роз. У каждой чёрной розы 4 пестика и 4 тычинки, а на стебле два листка. У каждого аленького цветочка 8 пестиков и 10 тычинок, а на стебле три листка. Листков в букете на 108 меньше, чем пестиков. Сколько тычинок в букете?
На лужайке росли 35 одуванчиков, каждый из них желтый или белый. После того, как восемь белых облетели, а два жёлтых побелели, жёлтых одуванчиков стало вдвое больше, чем белых. Сколько белых и сколько жёлтых одуванчиков росло на лужайке вначале?
