Для решения этой задачи воспользуемся формулой Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна $p(0<p<1)$ , событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна:

$p_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

где

$q = 1 - p \quad \text{и} \quad C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

— количество сочетаний из n различных элементов по k элементов и

$n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n, \quad \text{при этом } 0! = 1.$

Вероятность выпадения качка при одном броске монеты равна $\tfrac{1}{2}$ . То есть

$p = \tfrac{1}{2}, \quad q = 1 - p = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.$

Тогда вероятность того, что из 17 бросков монеты выпадет ровно 8 качков:

$p_{17}(8) = C_{17}^8 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^8 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^9 = \frac{17!}{8! \cdot 9!} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{17}.$

Вероятность того, что выпадет ровно 7 качков:

$p_{17}(7) = C_{17}^7 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^7 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10} = \frac{17!}{7! \cdot 10!} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{17}.$

Тогда:

$\frac{p_{17}(8)}{p_{17}(7)} = \frac{\dfrac{17!}{8! \cdot 9!} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{17}} {\dfrac{17!}{7! \cdot 10!} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{17}} = \frac{17!}{8! \cdot 9!} \cdot \frac{7! \cdot 10!}{17!}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10} {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{10}{8} = 1{,}25.$

Задания для подготовки к ЕГЭ Теорема Бернулли