Решим задачу в общем виде. Пусть в турнире участвуют n игроков. Введём события:

«А – Иван прекратит турнир, проиграв Алексею»;

«В – Алексей прекратит турнир, проиграв Ивану».

Так как все игроки играют одинаково, то

$p(A)=p(B)$ и $p(A+B)=p(A)+p(B)$ . При этом сумма вероятностей $p(A)+p(B)$ есть вероятность того, что Иван и Алексей в каком-то туре сыграли друг с другом.

Найдём p(A). Введём события:

«Н $_1$ – Иван выиграет турнир»;

«Н $_2$ – Иван не выиграет турнир».

$p(H_1)=\frac{1}{n}$ (так как у всех игроков одинаковые шансы выиграть турнир).

$p(H_2)=\frac{n-1}{n}$

Найдём условные вероятности:

$p(\frac{A}{H_1})=0$ (Иван не может прекратить турнир, проиграв Алексею, если он выиграл турнир).

$p(\frac{A}{H_2})=\frac{1}{n-1}$ (если Иван не выиграл турнир, то любому из оставшихся участников он мог проиграть с одинаковой вероятностью).

Вероятность события А найдём по формуле полной вероятности:

$p(A) = p(H_1) \cdot p\!\left(\dfrac{A}{H_1}\right) + p(H_2) \cdot p\!\left(\dfrac{A}{H_2}\right) = \dfrac{1}{n} \cdot 0 + \dfrac{n-1}{n} \cdot \dfrac{1}{n-1} = \dfrac{1}{n}.$

Тогда:

$p(A+B) = p(A) + p(B) = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{2}{n}.$

Так как в данном случае в турнире участвуют 20 игроков, то:

$p(A+B) = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10} = 0,1.$

Задания для подготовки к ЕГЭ Полная вероятность