$\textbf{a)}$ Запишем ограничения, определяющие ОДЗ:

$\left\{ \begin{aligned} \ln(x - 1) &\ne 0, \\ x - 1 &> 0, \\ x - 1 &\ne 1, \end{aligned} \right. \Longrightarrow \left\{ \begin{aligned} x - 1 &\ne 1, \\ x &> 1, \\ x &\ne 2, \end{aligned} \right. \Longrightarrow \left\{ \begin{aligned} x &\ne 2, \\ x &> 1, \\ x &\ne 2. \end{aligned} \right.$

Таким образом, $x \in (1; 2) \cup (2; +\infty).$

Используя формулу перехода к новому основанию $\log_a c = \frac{1}{\log_c a},$ преобразуем правую часть уравнения. Напомним, что — $ln x$ это натуральный логарифм x, то есть логарифм x по основанию e.

$\frac{x^2 - 4}{\ln(x - 1)} = (x^2 - 6)\cdot \frac{1}{\ln(x - 1)} + 1,$ $\frac{x^2 - 4}{\ln(x - 1)} = \frac{x^2 - 6}{\ln(x - 1)} + \frac{\ln(x - 1)}{\ln(x - 1)},$ $x^2 - 4 = x^2 - 6 + \ln(x - 1),$ $2 = \ln(x - 1),$ $\ln e^2 = \ln(x - 1),$ $e^2 = x - 1,$ $x = e^2 + 1.$

$\textbf{б)}$ Единственный корень уравнения, левая и правая граница отрезка — иррациональные числа.
Проведём необходимые сравнения:
Замечание: без этих сравнений даже за верный ответ поставят 0 баллов, как за “недостаточно обоснованное” решение

$e\pi - 1 \le e^2 + 1 \le \pi^2,$ $e\pi \le e^2 + 2 \le \pi^2 + 1.$

Перейдём к системе. Рассмотрим, верна ли она при найденном значении x:

$\left\{ \begin{aligned} e\pi &\le e^2 + 2, \\ e^2 + 2 &\le \pi^2 + 1. \end{aligned} \right.$

Заметим, что $2,7 \le e \le 2,8\ и\ 3,1 \le \pi \le 3,2$ , откуда имеем:

$\left\{ \begin{aligned} e\pi &\le 2{,}8 \cdot 3{,}2 = 8{,}96 < 9{,}29 = 2{,}72^2 + 2 < e^2 + 2,\\ e^2 + 2 &< 2{,}82^2 + 2 = 9{,}84 < 10{,}61 = 3{,}12^2 + 1 < \pi^2 + 1. \end{aligned} \right.$

Система верна, следовательно, корень лежит на отрезке.

$\textbf{Ответ:}\\$
$\textbf{a)} e^2 + 1,\\$
$\textbf{b)} e^2 + 1.$

Задания для подготовки к ЕГЭ Логарифмические: сведение к квадратному или кубическому уравнению