a) Преобразуем исходное уравнение:

$8\cos^{4}x+3\cos 2x-6=0 \Leftrightarrow 8\cos^{4}x+3(2\cos^{2}x-1)-6=0$ $\Leftrightarrow 8\cos^{4}x+6\cos^{2}x-9=0 \Leftrightarrow (2\cos^{2}x+3)(4\cos^{2}x-3)=0$ $\Leftrightarrow \cos^{2}x=\frac{3}{4}.$

Тогда

$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad \text{или}\quad \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2},$

откуда

$x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}, \qquad x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2};\,-2\pi\right]$ с помощью двойных неравенств.

1)

$-\frac{7\pi}{2}\le \frac{\pi}{6}+2\pi k\le -2\pi \Rightarrow -\frac{11\pi}{3}\le 2\pi k\le -\frac{13\pi}{6} \Rightarrow -\frac{11}{6}\le k\le -\frac{13}{12} \Rightarrow k=-1,$ $x=\frac{\pi}{6}-2\pi=-\frac{11\pi}{6}.$

(не подходит, так как $-\frac{11\pi}{6}>-2\pi$ )

2)

$-\frac{7\pi}{2}\le -\frac{\pi}{6}+2\pi k\le -2\pi \Rightarrow -\frac{10\pi}{3}\le 2\pi k\le -\frac{11\pi}{6} \Rightarrow -\frac{5}{3}\le k\le -\frac{11}{12} \Rightarrow k=-1,$ $x=-\frac{\pi}{6}-2\pi=-\frac{13\pi}{6}.$

3)

$-\frac{7\pi}{2}\le \frac{5\pi}{6}+2\pi k\le -2\pi \Rightarrow -\frac{13\pi}{3}\le 2\pi k\le -\frac{17\pi}{6} \Rightarrow -\frac{13}{6}\le k\le -\frac{17}{12} \Rightarrow k=-1\ \text{или}\ -2.$

При $k=-1$ :

$x=\frac{5\pi}{6}-2\pi=-\frac{7\pi}{6}$

(не подходит).
При $k=-2$ :

$x=\frac{5\pi}{6}-4\pi=-\frac{19\pi}{6}.$

4)

$-\frac{7\pi}{2}\le -\frac{5\pi}{6}+2\pi k\le -2\pi \Rightarrow -\frac{8\pi}{3}\le 2\pi k\le -\frac{7\pi}{6} \Rightarrow -\frac{4}{3}\le k\le -\frac{7}{12} \Rightarrow k=-1,$ $x=-\frac{5\pi}{6}-2\pi=-\frac{17\pi}{6}.$

$\textbf{Ответ:}$

a)

$x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}; \qquad x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$

б)

$-\frac{19\pi}{6},\;-\frac{17\pi}{6},\;-\frac{13\pi}{6}.$

Задания для подготовки к ЕГЭ Биквадратные уравнения