Пусть $t = \frac{3}{x - 6} + \frac{x - 6}{3}$

Тогда неравенство примет вид:

$t^2 \leq \frac{289}{16}.$

Преобразуем:

$\left(t-\dfrac{17}{4}\right)\left(t+\dfrac{17}{4}\right) \leq 0$

Отсюда вполне очевидно что:

$-\dfrac{17}{4} \leq t \leq \dfrac{17}{4}$

Рассмотрим двойное неравенство как 2 отдельных

Первый случай

$t \geq -\dfrac{17}{4} \Leftrightarrow \frac{3}{x - 6} + \frac{x - 6}{3} \geq - \dfrac{17}{4}$

Неравенство принимает вид:

$\frac{9 + (x - 6)^2}{3(x - 6)} \geq -\frac{17}{4}.$

Приведём к общему знаменателю:

$\frac{4(9 + (x - 6)^2) + 17 \cdot 3(x - 6)}{12(x - 6)} \geq 0.$

Таким образом, неравенство:

$\frac{4x^2 + 3x - 126}{12(x - 6)} \geq 0.$

Преобразуем числитель и избавимся от коэффицента в знаменателе:

$\frac{(x+6)(4x-21)}{(x - 6)} \geq 0$

Методом интервалов получаем решение для первого неравенства:

$x \in (-\infty, -6] \cup \left[\frac{21}{4}, 6\right).$

Второй случай

$t \leq \dfrac{17}{4} \Leftrightarrow \frac{3}{x - 6} + \frac{x - 6}{3} \leq \dfrac{17}{4}$

Аналогично, приводим к общему знаменателю:

$\frac{9 + (x - 6)^2}{3(x - 6)} \leq \frac{17}{4}.$

Переносим всё в одну сторону:

$\frac{9 + (x - 6)^2}{3(x - 6)} - \frac{17}{4} \leq 0.$

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{4(9 + (x - 6)^2) - 17 \cdot 3(x - 6)}{12(x - 6)} \leq 0.$

Таким образом, неравенство:

$\frac{4x^2 - 99x + 486}{12(x - 6)} \leq 0.$

Преобразуем числитель и избавимся от коэффицента в знаменателе:

$\frac{(x-18)(4x-27)}{(x - 6)} \leq 0$

Методом интервалов получаем решение для второго неравенства:

$x \in \left(6, \frac{27}{4}\right] \cup [18, +\infty).$

Нам нужно найти решение исходного неравенства, но наши промежутки не пересекаются.

Тогда проверим граничные точки x = -6; 18

Они удволетворяют исходному неравенству, значит они и будут входить в ответ

$x \in \left\{-6; 18\right\}$

Задания для подготовки к ЕГЭ Задачи №15 из сборника И.В. Ященко ЕГЭ