Найдем ОДЗ
Логарифм $\log_a b$ определен при $a > 0, a \neq 1, b > 0$ :

Аргумент: $3x + 10 > 0 \Rightarrow x > -\frac{10}{3}$ (или $x > -3\frac{1}{3}$ ).
Основание: $x^2 + 6x + 10 > 0$ . Дискриминант $D = 36 - 40 = -4 < 0$ , ветви параболы направлены вверх, значит, выражение всегда положительно.
Основание не равно 1: $x^2 + 6x + 10 \neq 1 \Rightarrow x^2 + 6x + 9 \neq 0 \Rightarrow (x + 3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

$\textbf{ОДЗ:}$ $x \in \left( -3\frac{1}{3}; -3 \right) \cup (-3; +\infty)$ .

На ОДЗ знак логарифма $\log_a b$ совпадает со знаком выражения $(a-1)(b-1)$ . Перейдем к равносильному (на ОДЗ) рациональному неравенству:

$(4x + 13) \cdot (x^2 + 6x + 10 - 1) \cdot (3x + 10 - 1) \ge 0$

$(4x + 13) \cdot (x^2 + 6x + 9) \cdot (3x + 9) \ge 0$

$(4x + 13) \cdot (x + 3)^2 \cdot 3(x + 3) \ge 0$

$3(4x + 13)(x + 3)^3 \ge 0$

Воспользуемся методом интервалов

Получаем промежутки: $x \in (-\infty; -3,25] \cup (-3; +\infty)$

Пересечем полученное решение с ОДЗ $x \in (-3\frac{1}{3}; -3) \cup (-3; +\infty)$ :

Итоговые интервалы: $x \in (-3\frac{1}{3}; -3,25] \cup (-3; +\infty)$ .

$\textbf{Ответ: } \left( -\frac{10}{3}; -3,25 \right] \cup (-3; +\infty)$ .

Задания для подготовки к ЕГЭ Логарифмические неравенства с переменным основанием