Найдем одз
Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$x + 2 > 0 \implies x > -2$
$-x > 0 \implies x < 0$
$x^2 > 0 \implies x \neq 0$ (выполняется при $x < 0)$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2; 0)$ .

На ОДЗ имеем x < 0, следовательно, $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ . Преобразуем множители:

$\log_5(x + 2)^2 = 2 \log_5(x + 2)$

$\log_{\frac{1}{2}} x^2 = \log_{2^{-1}} (-x)^2 = -2 \log_2(-x)$

Подставим преобразованные выражения в неравенство:

$(2 \log_5(x + 2)) \cdot (-2 \log_2(-x)) - 4 \log_5(x + 2) + 4 \log_2(-x) + 4 \le 0$

$-4 \log_5(x + 2) \cdot \log_2(-x) - 4 \log_5(x + 2) + 4 \log_2(-x) + 4 \le 0$

Разделим обе части на -4, меняя знак неравенства:

$\log_5(x + 2) \cdot \log_2(-x) + \log_5(x + 2) - \log_2(-x) - 1 \ge 0$

Сгруппируем слагаемые:

$\log_5(x + 2) \left( \log_2(-x) + 1 \right) - \left( \log_2(-x) + 1 \right) \ge 0$

$\left( \log_5(x + 2) - 1 \right) \left( \log_2(-x) + 1 \right) \ge 0$

Проанализируем знак первой скобки на интервале $x \in (-2; 0)$ :
Так как $x < 0$ , то $x + 2 < 2$ . Следовательно, $\log_5(x + 2) < \log_5 2 < 1$ .
Значит, выражение $(\log_5(x + 2) - 1)$ всегда \textbf{отрицательно} на ОДЗ.

Чтобы произведение было неотрицательным, вторая скобка должна быть неположительной:

$\log_2(-x) + 1 \le 0 \implies \log_2(-x) \le -1$

$-x \le 2^{-1} \implies -x \le 0,5 \implies x \ge -0,5$

Учитывая ОДЗ $x \in (-2; 0)$ и полученное условие $x \ge -0,5$ находим пересечение:

$x \in [-0,5; 0)$

Задания для подготовки к ЕГЭ Логарифмические неравенства с числовым основанием