Так как AC = BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB. Высота CH, опущенная на основание, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, точка H — середина AB, и треугольник ACH — прямоугольный

В прямоугольном треугольнике ACH по определению косинуса угла A:

$\cos A = \frac{AH}{AC} = \frac{7}{25}.$

Отсюда выразим AH через AC:

$AH = \frac{7}{25} \cdot AC.$

По теореме Пифагора для треугольника ACH:

$AC^2 = AH^2 + CH^2.$

Подставим известные значения $CH = 19{,}2$ и выражение для AH:

$AC^2 = \left(\frac{7}{25} \cdot AC\right)^2 + (19{,}2)^2.$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$AC^2 = \frac{49}{625} \cdot AC^2 + 368{,}64.$

Перенесём все члены с $AC^2$ в одну сторону:

$AC^2 - \frac{49}{625} \cdot AC^2 = 368{,}64 \Rightarrow \\ \frac{625 - 49}{625} \cdot AC^2 = 368{,}64 \Rightarrow \\ \frac{576}{625} \cdot AC^2 = 368{,}64.$

Выразим AC^2:

$AC^2 = 368{,}64 \cdot \frac{625}{576}.$

Вычислим числовое значение:

$368{,}64 : 576 = 0{,}64, \quad \text{тогда} \quad AC^2 = 0{,}64 \cdot 625 = 400.$

$AC = \sqrt{400} = 20.$

Задание №39970 ЕГЭ по Математике