91bc6c8e38.js"],""] 32:T7a0,

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны. Обозначим за a.

Периметр – сумма длин всех сторон:

$P=a+a+a+a=4a=164\to a=41.$

Диагонали ромба пересекаются под прямым углов и точкой пересечения делятся пополам. Если диагонали относятся как 1 : 9, то половины диагоналей относятся аналогично. Пусть половины диагоналей равны x и 9x соответственно.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами x и 9x и гипотенузой a = 41:

$41^2=x^2+(9x)^2\leftrightarrow 82x^2=41^2\leftrightarrow x= \frac {\sqrt{82}} 2.$

$\mathcal{\normalsize{Тогда\spaceдиагонали\spaceромба\spaceравны\space\sqrt{82}\spaceи\space9\sqrt{82}\spaceсоответственно.}}$

Поскольку нам нужно найти высоту при наличии значений диагоналей и стороны ромба, воспользуемся методом площадей.

Площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, а также произведению стороны, на высоту, к ней опущенную:

$\frac 1 2 \cdot \sqrt{82}\cdot 9\sqrt{82} = 41\cdot h,$ $41\cdot 9=41\cdot h\to h=9.$

Задание №1184 ЕГЭ по Математике