Задания для подготовки к ЕГЭ 1 куча
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
− убрать из кучи 3 камня,
− убрать из кучи 5 камней,
− уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до большего).
У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 21. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший в куче 21 камней или меньше. В начальный момент в куче было S камней; S > 21.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите минимальное значение S, когда Петя не может выиграть за один ход, но при этом Ваня может выиграть своим первым ходом при любой игре Пети.
Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания
| 1 | 2 | |
| 1 |
Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
- добавить в кучу 2 каменя;
- добавить в кучу 5 камней;
- увеличить количество камней в куче в 3 раза.
Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 22, 25 или 60 камней.
Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 625. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 625 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 624.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
| 1 | 2 | |
| 1 |
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
− убрать из кучи 2 камня,
− убрать из кучи 6 камней,
− уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до большего).
У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 11. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший в куче 11 камней или меньше. В начальный момент в куче было S камней; S > 11.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите минимальное значение S, когда Петя не может выиграть за один ход, но при этом Ваня может выиграть своим первым ходом при любой игре Пети.
Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания
| 1 | 2 | |
| 1 |
Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– убрать из кучи 2 камня;
– убрать из кучи 4 камней;
– уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 18, 16 или 7 камней.
Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 123. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 123 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 124.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшие и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
| 1 | 2 | |
| 1 |
Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– убрать из кучи 3 камня;
– убрать из кучи 7 камней;
– уменьшить количество камней в куче в 2 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до большего).
Например, из кучи в 41 камней за один ход можно получить кучу из 38, 34 или 21 камней.
Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 54. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 54 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 55.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите такое максимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом
Для игры, описанной в задании 19, найдите два минимальных значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
- Петя не может выиграть за один ход;
- Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
| 1 | 2 | |
| 1 |
Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
- у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
- у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– убрать из кучи 7 камня;
– убрать из кучи 8 камней;
– уменьшить количество камней в куче в 5 раз (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
Например, из кучи в 40 камней за один ход можно получить кучу из 33, 32 или 8 камней.
Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 77. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 77 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 78.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите максимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
- Петя не может выиграть за один ход;
- Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
| 1 | 2 | |
| 1 |
Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
- у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
- у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Для игры, описанной в задании 19, найдите максимальное значение S, при котором у Вани есть стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволила бы ему гарантированно выиграть первым ходом.
Для игры, описанной в задании 19, найдите наибольшее и наименьшее значения S, при которых Петя не может выиграть первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Вани.
В ответе запишите найденные значения в порядке возрастания.
| 1 | 2 | |
| 1 |
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в пять или восемь камней, увеличить количество камней в куче в четыре раза, если оно нечётное, или в шесть , если оно чётное.
Например, если в куче 5 камней, то за один ход можно получить 10, 13 или 20 камней, а если в куче 6 камней, то за один ход можно получить 11, 14 или 36 камней.
Игра завершается, когда количество камней в куче достигает 245. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 245 или больше камней.
В начале игры в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 244
Укажите количество значений S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом
Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором у Вани есть стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволила бы ему гарантированно выиграть первым ходом.
Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых Петя не может выиграть первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Вани.
В ответе запишите найденные значения в порядке убывания.
| 1 | 2 | |
| 1 |
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу четырнадцать камней, увеличить количество камней в куче в два раза, если оно нечётное, или в три, если оно чётное.
Например, если в куче 5 камней, то за один ход можно получить 19 или 10 камней, а если в куче 6 камней, то за один ход можно получить 20 или 18 камней.
Игра завершается, когда количество камней в куче достигает 166. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 166 или больше камней.
В начале игры в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 165
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём
одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания
| 1 | 2 | |
| 1 |
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
− убрать из кучи 2 камня,
− убрать из кучи 11 камней,
− уменьшить количество камней в куче в 2 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 23. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший в куче 23 камней или меньше. В начальный момент в куче было S камней; S > 23.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите максимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
