Для решения этой задачи воспользуемся формулой Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0<p<1), событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна:

$p_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k},$ $\text{где } q = 1 - p \text{ и } C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

количество сочетаний из n различных элементов по k элементов и

$n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n, \quad \text{при этом } 0! = 1.$

Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень с первого или второго выстрела:

$p = 0,5 + 0,5 \cdot 0,5 = 0,75.$

Соответственно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что стрелок не попадёт в мишень с двух выстрелов, равна:

$q = 1 - 0,75 = 0,25.$

Тогда вероятность того, что стрелок поразит ровно три мишени:

$p_5(3) = C_5^3 \cdot 0,75^3 \cdot 0,25^2 = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} \cdot 0,75^3 \cdot 0,25^2 = 10 \cdot 0,75^3 \cdot 0,25^2.$

Вероятность того, что поразит ровно 2 мишени:

$p_5(2) = C_5^2 \cdot 0,75^2 \cdot 0,25^3 = \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} \cdot 0,75^2 \cdot 0,25^3 = 10 \cdot 0,75^2 \cdot 0,25^3.$

Тогда:

$\dfrac{p_5(3)}{p_5(2)} = \dfrac{10 \cdot 0,75^3 \cdot 0,25^2}{10 \cdot 0,75^2 \cdot 0,25^3} = \dfrac{0,75}{0,25} = 3.$

Задание №27078 ЕГЭ по Математике