S — первоначальная сумма кредита (искомая величина);

n = 20 — срок кредита в месяцах;

r = 2% = 0,02 — месячная процентная ставка;

D — ежемесячное уменьшение долга (аннуляция основного долга).

Поскольку долг уменьшается равномерно и полностью погашается за 20 месяцев:

$S = 20 \cdot D \implies D = \frac{S}{20}.$

Для месяца $m$ :
Остаток долга на 15-е число месяца $(m-1):\ S_{m-1}$
1-го числа месяца $m$ долг увеличивается на 2%: $S_{m-1} \cdot 1{,}02$
Со 2-го по 14-е число месяца $m$ выплачивается часть долга, и на 15-е число месяца $m$ долг становится: $S_m = S_{m-1} - D$

Выплата в месяц $m \ (P_m)$ состоит из:
Проценты за месяц $m: \ r \cdot S_{m-1} = 0{,}02 \cdot S_{m-1}$

Часть основного долга: $D$ .

Таким образом:

$P_m = 0{,}02 \cdot S_{m-1} + D.$

Остаток долга на 15-е число месяца (m-1):

$S_{m-1} = S - (m-1) \cdot D = S - (m-1) \cdot \frac{S}{20} = S \left(1 - \frac{m-1}{20}\right).$

Подставляем $S_{m-1}$ в формулу для $P_m$

$P_m = 0{,}02 \cdot S \left(1 - \frac{m-1}{20}\right) + \frac{S}{20}.$

Упрощаем:

$\begin{align*} P_m = S \left[0{,}02 \left(1 - \frac{m-1}{20}\right) + \frac{1}{20}\right] \\ = S \left[0{,}02 - 0{,}02 \cdot \frac{m-1}{20} + \frac{1}{20}\right] \\ = S \left[0{,}02 + 0{,}05 - 0{,}001(m-1)\right] \\ = S \left(0{,}07 - 0{,}001(m-1)\right). \end{align*}$

Общая сумма выплат за первые 10 месяцев $P_{10}$

$P_{10} = \sum_{m=1}^{10} P_m = S \sum_{m=1}^{10} \left(0{,}07 - 0{,}001(m-1)\right).$

Раскладываем сумму:

$\sum_{m=1}^{10} \left(0{,}07 - 0{,}001(m-1)\right) = \sum_{m=1}^{10} 0{,}07 - 0{,}001 \sum_{m=1}^{10} (m-1).$

Вычисляем:

$\begin{align*} \sum_{m=1}^{10} 0{,}07 = 10 \cdot 0{,}07 = 0{,}7, \\ \sum_{m=1}^{10} (m-1) = 0 + 1 + 2 + \dots + 9 = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45. \end{align*}$

Итоговая сумма:

$\sum_{m=1}^{10} \left(0{,}07 - 0{,}001(m-1)\right) = 0{,}7 - 0{,}001 \cdot 45 = 0{,}7 - 0{,}045 = 0{,}655.$

Таким образом:

$P_{10} = S \cdot 0{,}655.$

По условию $P_{10} = 1\,179\,000$ рублей. Получаем уравнение:

$S \cdot 0{,}655 = 1\,179\,000.$

Решаем относительно $S$

$S = \frac{1\,179\,000}{0{,}655} = 1\,800\,000 \text{ рублей}.$

Задания для подготовки к ЕГЭ Задачи из сборника И.В. Ященко ЕГЭ