$\textbf{Анализ ресурсов.}$
В каждой области суммарно $100 \times 10 = 1000$ человеко-часов в сутки.

$\textbf{Первая область (линейная зависимость).}$
Пусть $Al_1$ — масса алюминия, $Ni_1$ — масса никеля.
На $Al_1$ тратится $\frac{Al_1}{0,3}$ часов, на $Ni_1$ тратится $\frac{Ni_1}{0,1}$ часов.

$\frac{Al_1}{0,3} + \frac{Ni_1}{0,1} = 1000 \implies \frac{10}{3}Al_1 + 10Ni_1 = 1000 \implies Al_1 + 3Ni_1 = 300$

Отсюда $Al_1 = 300 - 3Ni_1$ .

$\textbf{Вторая область (квадратичная зависимость).}$
Пусть $x$ — масса алюминия, $y$ — масса никеля. Ограничение по времени:

$x^2 + y^2 = 1000$

$\textbf{Условие сплава.}$
Общий алюминий $A = Al_1 + x$ , общий никель $N = Ni_1 + y$ .
По условию $A : N = 2 : 1 \implies A = 2N$

$(300 - 3Ni_1) + x = 2(Ni_1 + y) \implies 300 + x - 3Ni_1 = 2Ni_1 + 2y$

$5Ni_1 = 300 + x - 2y \implies Ni_1 = \frac{300 + x - 2y}{5}$

$\textbf{Максимизация.}$
Нужно максимизировать общую массу никеля $N$ (так как масса сплава $M = 3N$ ):

$N = Ni_1 + y = \frac{300 + x - 2y}{5} + y = \frac{300 + x + 3y}{5}$

Задача сводится к поиску максимума выражения $(x + 3y)$ при условии $x^2 + y^2 = 1000$

Используем метод производной: $x = \sqrt{1000 - y^2}$

$f(y) = \sqrt{1000 - y^2} + 3y \implies f'(y) = \frac{-y}{\sqrt{1000 - y^2}} + 3 = 0$

$3\sqrt{1000 - y^2} = y \implies 9(1000 - y^2) = y^2 \implies 10y^2 = 9000 \implies y = 30, x = 10$

$\textbf{Итоговый расчет:}$

Никель во второй области: $y = 30$ кг.
Никель в первой области: $Ni_1 = \frac{300 + 10 - 2 \cdot 30}{5} = \frac{250}{5} = 50$ кг.
Общий никель: $N = 50 + 30 = 80$ кг.
Общий алюминий: $A = 2N = 160$ кг.
$\textbf{Общая масса сплава: }$ $M = A + N = 160 + 80 = 240$ кг.

$\textbf{Ответ: } 240.$

Задания для подготовки к ЕГЭ Поиск наибольшего/наименьшего значения величины