Пусть x --- количество обычных номеров, а y --- количество номеров «люкс».
По условию x и y --- целые неотрицательные числа.
Общая площадь, занимаемая номерами, ограничена:

$21x + 49y \le 1099$

Разделим обе части неравенства на 7:

$3x + 7y \le 157 \quad (*)$

Доход отеля за сутки составляет $P = 2000x + 4500y$ . Выразим эту величину как $P = 500(4x + 9y)$ Нам необходимо максимизировать значение $f = 4x + 9y$

Сравним удельную доходность типов номеров:

Обычный номер: $\frac{2000}{21} \approx 95,2$ руб/м $^2$ .

Номер «люкс»: $\frac{4500}{49} \approx 91,8$ руб/м $^2$ .

Так как обычные номера приносят больше дохода с одного квадратного метра, выгодно минимизировать простой площади и отдавать приоритет переменной x.

Из неравенства $(*)$ имеем:

$3x \le 157 - 7y \implies x \le \frac{157 - 7y}{3}$

Чтобы доход был наибольшим, площадь должна быть использована максимально полно. Рассмотрим возможные значения y:

1) Если $y = 0$ , то $x \le \lfloor 157/3 \rfloor = 52$
При $x=52, y=0$ : $f = 4 \cdot 52 + 9 \cdot 0 = 208$
2) Если $y = 1$ , то $x \le \lfloor (157 - 7)/3 \rfloor = \lfloor 150/3 \rfloor = 50$
При $x=50, y=1:$ $f = 4 \cdot 50 + 9 \cdot 1 = 209$ .
3) Если $y = 2$ , то $x \le \lfloor (157 - 14)/3 \rfloor = \lfloor 143/3 \rfloor = 47$ .
При $x=47, y=2:$ $f = 4 \cdot 47 + 9 \cdot 2 = 188 + 18 = 206$

Заметим, что при увеличении $y$ на 3 единицы, $x$ уменьшается минимум на 7 единиц (чтобы сохранить баланс площади).
Изменение функции $f$ при такой замене: $\Delta f = 9 \cdot 3 - 4 \cdot 7 = 27 - 28 = -1$
Следовательно, дальнейшее увеличение $y$ будет только уменьшать итоговый доход.

Наибольшее значение $f = 209$ достигается при $x = 50$ и $y = 1$ .

Подставим обратно в P

$P = 2000 \cdot 50 + 4500 = 104500$

$\textbf{Ответ:}$ 104 500

Задания для подготовки к ЕГЭ Задачи прикладного характера