Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу строятся на связи между объёмом работы, временем и производительностью.

Производительность показывает, какую часть всей работы выполняют за единицу времени.

Если всю работу принять за \(1\), а исполнитель выполняет её за \(t\) часов, то его производительность равна

\[p=\frac{1}{t}.\]

Если известны объём работы \(A\), производительность \(p\) и время \(t\), используется формула

\[A=pt.\]

В большинстве задач ЕГЭ всю работу удобно принимать за \(1\).

Производительность работы

Пусть первый рабочий выполняет всю работу за \(t_1\) часов.

Тогда за один час он выполняет

\[\frac{1}{t_1}\]

всей работы.

Если второй рабочий выполняет всю работу за \(t_2\) часов, его производительность равна

\[\frac{1}{t_2}.\]

Например, один рабочий выполняет заказ за 6 часов.

За один час он выполняет

\[\frac16\]

заказа.

За 3 часа он выполнит

\[3\cdot\frac16=\frac12\]

всей работы.

Совместная работа

Если несколько исполнителей одновременно выполняют одну и ту же работу, их производительности складываются.

Пусть первый выполняет работу за \(t_1\) часов, а второй — за \(t_2\) часов.

Тогда их общая производительность равна

\[p=\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}.\]

Время совместной работы:

\[t=\frac{1}{\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}}.\]

Например, первый рабочий выполняет заказ за 6 часов, а второй — за 3 часа.

Их производительности:

\[\frac16\quad\text{и}\quad\frac13.\]

Общая производительность:

\[\frac16+\frac13=\frac12.\]

Значит, вместе они выполнят всю работу за

\[t=\frac{1}{\frac12}=2\text{ ч}.\]

Если известна совместная работа

Иногда в задаче известно, за сколько времени два исполнителя выполняют работу вместе, и нужно найти производительность одного из них.

Например, первый рабочий выполняет работу за 6 часов, а вместе со вторым они выполняют её за 4 часа.

Производительность первого:

\[\frac16.\]

Общая производительность:

\[\frac14.\]

Пусть производительность второго равна \(p\).

Тогда

\[\frac16+p=\frac14.\]

Отсюда

\[p=\frac14-\frac16=\frac1{12}.\]

Значит, второй рабочий один выполняет всю работу за 12 часов.

Если один начал работать раньше

В задачах исполнители могут начинать работу в разные моменты.

Например, первый рабочий выполняет всю работу за 10 часов и работал один 2 часа.

За это время он выполнил

\[2\cdot\frac1{10}=\frac15\]

работы.

Осталось выполнить

\[1-\frac15=\frac45.\]

Если после этого к нему присоединяется второй рабочий, дальнейшую часть задачи нужно решать уже с их общей производительностью.

Здесь важно не считать, что оба работали одинаковое время, если по условию один начал раньше.

Если один закончил работать раньше

Аналогично может быть ситуация, когда сначала исполнители работают вместе, а затем один прекращает работу.

В этом случае работу удобно разбить на этапы.

Например:

— сначала оба работали \(t_1\) часов;

— затем первый работал ещё \(t_2\) часов один.

Тогда общий объём выполненной работы равен

\[\left(p_1+p_2\right)t_1+p_1t_2.\]

Если выполнена вся работа, составляется уравнение

\[\left(p_1+p_2\right)t_1+p_1t_2=1.\]

Если объём работы не равен единице

Не всегда всю работу обязательно принимать за \(1\).

Например, если известно, что нужно изготовить 300 деталей, можно работать непосредственно с количеством деталей.

Если рабочий производит \(20\) деталей в час и работает \(t\) часов, он изготовит

\[20t\]

деталей.

Если второй рабочий производит \(30\) деталей в час, вместе за \(t\) часов они изготовят

\[(20+30)t.\]

По условию это количество можно приравнять к общему объёму работы.

Например,

\[(20+30)t=300.\]

Отсюда

\[t=6\text{ ч}.\]

Если конкретный объём работы в условии не дан, обычно удобнее принимать его за \(1\).

Задачи на трубы и бассейны

Задачи, в которых трубы наполняют или опустошают бассейн, решаются так же, как задачи на совместную работу.

Если труба наполняет бассейн за \(t\) часов, её производительность равна

\[\frac1t.\]

Если одна труба наполняет бассейн, а другая его опустошает, их производительности не складываются, а вычитаются.

Например, первая труба наполняет бассейн за 6 часов, а вторая опустошает его за 12 часов.

Скорость наполнения бассейна:

\[\frac16-\frac1{12}=\frac1{12}.\]

Значит, при одновременной работе обеих труб бассейн наполнится за 12 часов.

Здесь знак зависит от смысла действия: наполнение увеличивает объём воды, а опустошение уменьшает его.

Как составить уравнение

При решении задачи удобно действовать по следующему плану.

— Определить, что представляет собой вся работа.

— Если конкретный объём не указан, принять всю работу за \(1\).

— Найти производительность каждого исполнителя.

— Для каждого этапа определить время работы.

— Найти объём работы на каждом этапе по формуле \(A=pt\).

— Сложить выполненные части работы.

— Приравнять полученную сумму к общему объёму работы.

Например, если первый рабочий выполняет работу за \(x\) часов, а второй — за \(x+3\) часа, то их производительности равны

\[\frac1x\quad\text{и}\quad\frac1{x+3}.\]

Если вместе они выполняют работу за 4 часа, получаем уравнение

\[4\left(\frac1x+\frac1{x+3}\right)=1.\]

После этого остаётся решить полученное уравнение и проверить, подходит ли ответ по смыслу задачи.

Главное

— Производительность показывает, какую часть работы выполняют за единицу времени.

— Если исполнитель выполняет всю работу за \(t\) часов, его производительность равна \(\frac1t\).

— При совместной работе производительности складываются.

— Объём работы находится по формуле \(A=pt\).

— Если один исполнитель начал раньше или закончил позже, работу нужно разбить на отдельные этапы.

— В задачах на трубы наполнение учитывается со знаком «плюс», а опустошение — со знаком «минус».

— Если объём работы в условии не указан, всю работу обычно удобно принимать за \(1\).