126Задачи на смеси, сплавы и концентрации
В задачах на смеси и сплавы несколько веществ смешивают, разбавляют или изменяют их состав. Основная идея таких задач — отдельно следить за общей массой смеси и за массой нужного вещества внутри неё.
Концентрация показывает, какую часть всей смеси составляет определённое вещество.
Если масса вещества равна \(m_{\text{вещ}}\), а масса всей смеси равна \(m_{\text{смеси}}\), то концентрация равна
\[k=\frac{m_{\text{вещ}}}{m_{\text{смеси}}}.\]
Если концентрация указана в процентах, то
\[k=\frac{p}{100},\]
где \(p\) — концентрация в процентах.
Например, концентрация \(20\%\) соответствует
\[k=0{,}2.\]
Как найти массу вещества
Из формулы концентрации
\[k=\frac{m_{\text{вещ}}}{m_{\text{смеси}}}\]
получаем
\[m_{\text{вещ}}=km_{\text{смеси}}.\]
Например, имеется 300 г раствора с концентрацией соли \(20\%\).
Масса соли:
\[m_{\text{соли}}=0{,}2\cdot300=60\text{ г}.\]
Остальные 240 г приходятся на другие вещества, например на воду.
Смешивание двух растворов
Пусть смешивают два раствора.
Масса первого раствора равна \(m_1\), а его концентрация — \(k_1\).
Масса второго раствора равна \(m_2\), а его концентрация — \(k_2\).
Тогда масса нужного вещества в первом растворе:
\[k_1m_1.\]
Во втором растворе:
\[k_2m_2.\]
После смешивания масса нужного вещества станет равна
\[k_1m_1+k_2m_2.\]
Общая масса новой смеси:
\[m_1+m_2.\]
Поэтому концентрация полученной смеси равна
\[k_3=\frac{k_1m_1+k_2m_2}{m_1+m_2}.\]
Здесь важно не перепутать знаменатель: в нём находится сумма масс \(m_1+m_2\), а не их произведение.
Если концентрации даны в процентах, эту же формулу можно записывать через проценты:
\[p_3=\frac{p_1m_1+p_2m_2}{m_1+m_2}.\]
Например, смешали 200 г раствора с концентрацией \(10\%\) и 300 г раствора с концентрацией \(20\%\).
Тогда концентрация полученной смеси:
\[k_3=\frac{0{,}1\cdot200+0{,}2\cdot300}{200+300}=\frac{80}{500}=0{,}16.\]
Получаем концентрацию
\[16\%.\]
Основное уравнение для смесей
Большинство задач удобно решать не по готовой формуле, а через сохранение массы нужного вещества.
Если после смешивания получается смесь массы \(m_3\) с концентрацией \(k_3\), то
\[k_1m_1+k_2m_2=k_3m_3.\]
При обычном смешивании
\[m_3=m_1+m_2,\]
поэтому получаем
\[k_1m_1+k_2m_2=k_3(m_1+m_2).\]
Это одно из главных уравнений в задачах на смеси и сплавы.
Добавление чистого вещества
Если в смесь добавляют чистое вещество, его концентрация считается равной \(100\%\), то есть
\[k=1.\]
Например, к \(200\) г раствора с концентрацией \(30\%\) добавили \(x\) г чистой соли.
До добавления масса соли равна
\[0{,}3\cdot200=60\text{ г}.\]
После добавления соли её масса станет
\[60+x.\]
Общая масса смеси:
\[200+x.\]
Если новая концентрация должна составить \(40\%\), получаем уравнение
\[\frac{60+x}{200+x}=0{,}4.\]
Добавление воды
Если добавляется чистая вода, масса растворённого вещества не изменяется.
Меняется только общая масса раствора.
Например, имеется 150 г раствора, содержащего \(30\%\) соли.
Масса соли:
\[0{,}3\cdot150=45\text{ г}.\]
Если добавить \(x\) г воды, масса соли останется равной 45 г, а общая масса раствора станет
\[150+x.\]
Если после разбавления концентрация должна стать \(18\%\), получаем
\[\frac{45}{150+x}=0{,}18.\]
При добавлении воды концентрация раствора уменьшается.
Выпаривание воды
При выпаривании предполагается, что удаляется вода, а масса растворённого вещества остаётся неизменной.
Например, в 400 г раствора содержится \(15\%\) соли.
Масса соли:
\[0{,}15\cdot400=60\text{ г}.\]
Если выпарили \(x\) г воды, новая масса раствора равна
\[400-x.\]
Масса соли при этом остаётся равной 60 г.
Если новая концентрация равна \(20\%\), получаем
\[\frac{60}{400-x}=0{,}2.\]
При выпаривании воды концентрация растворённого вещества увеличивается.
Сплавы
Задачи на сплавы решаются по тому же принципу, что и задачи на растворы.
Например, если сплав массой \(m\) содержит \(40\%\) меди, то масса меди равна
\[0{,}4m.\]
Если смешиваются два сплава, нужно отдельно сложить массу интересующего металла в каждом из них.
Например, смешивают \(m_1\) кг сплава с долей меди \(k_1\) и \(m_2\) кг сплава с долей меди \(k_2\).
Количество меди после смешивания:
\[k_1m_1+k_2m_2.\]
Концентрация меди в новом сплаве:
\[k_3=\frac{k_1m_1+k_2m_2}{m_1+m_2}.\]
То есть математическая модель для растворов, смесей и сплавов практически одинакова.
Если часть смеси отливают
Если смесь однородная, то в любой её части концентрация вещества такая же, как во всей смеси.
Например, имеется раствор с концентрацией \(20\%\).
Если из него отлить 100 г раствора, вместе с этими 100 г удалится
\[0{,}2\cdot100=20\text{ г}\]
растворённого вещества.
Поэтому при удалении части однородного раствора уменьшается и общая масса, и масса вещества в одинаковой пропорции.
Сама концентрация оставшегося раствора при этом не изменяется.
Если отлили раствор и добавили воду
В некоторых задачах сначала удаляют часть смеси, а затем заменяют её водой.
Такие действия нужно рассматривать поэтапно.
Сначала находится количество вещества, которое удалили вместе с частью раствора.
После этого определяется, сколько вещества осталось.
Затем добавляется вода. Она увеличивает общую массу смеси, но не увеличивает массу растворённого вещества.
Например, из раствора массой \(m\) и концентрацией \(k\) отлили \(x\) г.
Вместе с раствором удалили
\[kx\]
г вещества.
До удаления вещества было
\[km.\]
После удаления осталось
\[km-kx=k(m-x).\]
Именно это количество вещества нужно использовать при дальнейших вычислениях.
Как составить уравнение
При решении задачи удобно действовать по следующему плану.
— Определить массу всей смеси.
— Определить концентрацию нужного вещества.
— Найти массу этого вещества по формуле \(m_{\text{вещ}}=km_{\text{смеси}}\).
— Проследить, как изменяется масса вещества после смешивания, добавления, удаления или выпаривания.
— Отдельно найти новую общую массу смеси.
— Использовать формулу концентрации \(k=\frac{m_{\text{вещ}}}{m_{\text{смеси}}}\).
Особенно важно помнить, что при добавлении воды или её выпаривании масса растворённого вещества обычно не меняется.
Главное
— Концентрация определяется формулой \(k=\frac{m_{\text{вещ}}}{m_{\text{смеси}}}\).
— Масса вещества равна \(m_{\text{вещ}}=km_{\text{смеси}}\).
— При смешивании двух смесей концентрация новой смеси равна \(k_3=\frac{k_1m_1+k_2m_2}{m_1+m_2}\).
— Главное уравнение смешивания: \(k_1m_1+k_2m_2=k_3(m_1+m_2)\).
— Чистому веществу соответствует концентрация \(100\%\), или \(k=1\).
— При добавлении воды масса растворённого вещества не меняется, а концентрация уменьшается.
— При выпаривании воды масса растворённого вещества не меняется, а концентрация увеличивается.