Задачи на движение

Задачи на движение строятся на связи между расстоянием, скоростью и временем. На ЕГЭ встречается движение по прямой, навстречу друг другу, вдогонку, с остановками и разными моментами старта, а также движение по воде и по окружности.

Основная формула:

\[S=vt.\]

Здесь \(S\) — расстояние, \(v\) — скорость, \(t\) — время.

Из неё получаются:

\[v=\frac{S}{t},\qquad t=\frac{S}{v}.\]

Главное в таких задачах — определить, какое расстояние проходит каждый участник и сколько времени он находится в движении.

Движение навстречу друг другу

Если два объекта одновременно начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями \(v_1\) и \(v_2\), расстояние между ними уменьшается со скоростью

\[v_{\text{сбл}}=v_1+v_2.\]

Поэтому время до встречи можно найти по формуле

\[t=\frac{S}{v_1+v_2},\]

где \(S\) — первоначальное расстояние между объектами.

Например, расстояние между городами равно 300 км. Из них одновременно выехали навстречу друг другу два автомобиля со скоростями 70 км/ч и 80 км/ч.

Их скорость сближения:

\[70+80=150\text{ км/ч}.\]

Значит, они встретятся через

\[t=\frac{300}{150}=2\text{ ч}.\]

Движение в одном направлении

Если два объекта движутся в одном направлении, один из них может догонять другой.

Пусть скорость догоняющего равна \(v_1\), а скорость второго объекта — \(v_2\), причём \(v_1>v_2\).

Расстояние между ними уменьшается со скоростью

\[v_{\text{сбл}}=v_1-v_2.\]

Если первоначальное расстояние между объектами равно \(S\), время до встречи:

\[t=\frac{S}{v_1-v_2}.\]

Например, автомобиль движется со скоростью 90 км/ч и догоняет автобус, который движется со скоростью 60 км/ч. Между ними первоначально 45 км.

Скорость сближения:

\[90-60=30\text{ км/ч}.\]

Автомобиль догонит автобус через

\[t=\frac{45}{30}=1{,}5\text{ ч}.\]

Если участники начали движение в разное время

В задачах один объект может выехать раньше другого.

Например, первый автомобиль ехал 2 часа со скоростью \(60\) км/ч до того, как за ним выехал второй.

За это время первый автомобиль успел проехать

\[S=60\cdot2=120\text{ км}.\]

Эти 120 км становятся первоначальным расстоянием между автомобилями в момент старта второго.

После этого задача обычно сводится к движению вдогонку.

Если второй автомобиль едет со скоростью \(80\) км/ч, скорость сближения равна

\[80-60=20\text{ км/ч}.\]

Поэтому время, необходимое второму автомобилю, чтобы догнать первый:

\[t=\frac{120}{20}=6\text{ ч}.\]

Здесь важно считать время каждого участника отдельно. Если один выехал раньше, времена их движения до встречи не равны.

Остановки и задержки

Если объект сделал остановку, время всей поездки и время движения различаются.

Например, автомобиль ехал \(3\) часа, затем остановился на \(20\) минут и после этого ехал ещё \(2\) часа.

Время движения:

\[3+2=5\text{ ч}.\]

Полное время поездки:

\[5+\frac{20}{60}=5\frac13\text{ ч}.\]

Если в условии говорится о скорости движения, остановка в формулу \(S=vt\) не входит, потому что во время остановки расстояние не изменяется.

Движение по воде

При движении по реке нужно учитывать скорость течения.

Пусть \(v\) — собственная скорость лодки, а \(u\) — скорость течения.

По течению скорости складываются:

\[v_{\text{по течению}}=v+u.\]

Против течения скорость течения вычитается:

\[v_{\text{против течения}}=v-u.\]

Отсюда собственную скорость можно найти как полусумму скоростей по течению и против течения:

\[v=\frac{v_{\text{по течению}}+v_{\text{против течения}}}{2}.\]

Скорость течения равна полуразности:

\[u=\frac{v_{\text{по течению}}-v_{\text{против течения}}}{2}.\]

Например, лодка движется по течению со скоростью 18 км/ч, а против течения — 12 км/ч.

Собственная скорость лодки:

\[v=\frac{18+12}{2}=15\text{ км/ч}.\]

Скорость течения:

\[u=\frac{18-12}{2}=3\text{ км/ч}.\]

Если в задаче говорится о плоте, его собственная скорость считается равной нулю. Поэтому скорость плота равна скорости течения.

Движение по окружности

Если два объекта движутся по окружности, удобно рассматривать длину всей окружности \(L\).

Если они стартуют из одной точки и движутся в противоположных направлениях, скорость их сближения равна

\[v_1+v_2.\]

До первой встречи вместе они должны пройти одну длину окружности:

\[(v_1+v_2)t=L.\]

Поэтому

\[t=\frac{L}{v_1+v_2}.\]

Если объекты движутся в одном направлении, более быстрый объект должен «выиграть» у более медленного одну полную окружность:

\[(v_1-v_2)t=L.\]

Следовательно,

\[t=\frac{L}{v_1-v_2}.\]

Например, два бегуна одновременно стартовали из одной точки круговой трассы длиной 400 м и побежали в одном направлении со скоростями 6 м/с и 4 м/с.

Первый бегун догонит второго, когда выиграет у него 400 м.

\[t=\frac{400}{6-4}=200\text{ с}.\]

Если дано время прохождения круга

В задачах по окружности вместо скорости может быть дано время, за которое участник проходит один круг.

Если длина окружности равна \(L\), а круг проходится за \(t\), то скорость:

\[v=\frac{L}{t}.\]

Но иногда саму длину окружности находить не требуется.

Например, один спортсмен проходит круг за 6 минут, а второй — за 4 минуты. За одну минуту первый проходит \(\frac16\) круга, а второй — \(\frac14\) круга.

При движении в одном направлении скорость сближения в долях круга равна

\[\frac14-\frac16=\frac1{12}.\]

Значит, более быстрый спортсмен догонит первого через

\[t=12\text{ мин}.\]

Такой способ особенно удобен, если длина круговой трассы в условии не указана.

Как составить уравнение в задаче на движение

При решении более сложной задачи удобно действовать по одному плану.

— Выбрать неизвестную величину и обозначить её через \(x\).

— Для каждого участника определить скорость, время и расстояние.

— Использовать формулу \(S=vt\).

— Учесть направление движения.

— Если участники движутся навстречу, скорости сближения складываются.

— Если один догоняет другого, скорости вычитаются.

— Если участники стартовали в разное время, отдельно учесть время движения каждого.

— Если была остановка, не включать её во время движения.

После этого нужно найти в условии связь между расстояниями или временами и составить уравнение.

Главное

— Основная формула движения: \(S=vt\).

— При движении навстречу скорость сближения равна сумме скоростей.

— При движении вдогонку скорость сближения равна разности скоростей.

— Если участники стартовали в разные моменты, их время движения нужно считать отдельно.

— По течению скорость равна \(v+u\), против течения — \(v-u\).

— При движении по окружности встреча определяется тем, какую часть полного круга участники вместе прошли или насколько один участник опередил другого.

— Остановки входят в полное время поездки, но не входят во время движения.