Вектор: определение, длина, сложение, вычитание и умножение на число

Вектор описывает не только расстояние, но и направление. В геометрии с помощью векторов удобно записывать перемещения, сравнивать направления отрезков и выполнять действия с направленными отрезками.

Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке \(A\) и концом в точке \(B\) обозначают \(\overrightarrow{AB}\). Также используются обозначения \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\).

У вектора есть начало, конец, длина и направление. Поэтому порядок букв в обозначении важен:

\[\overrightarrow{AB}\ne\overrightarrow{BA}.\]

Эти векторы имеют одинаковую длину, но противоположные направления.

Длина вектора

Длиной вектора называется длина отрезка, которым этот вектор изображён.

Длину вектора \(\vec a\) обозначают \(|\vec a|\). Для вектора \(\overrightarrow{AB}\):

\[|\overrightarrow{AB}|=AB.\]

Длина любого вектора является неотрицательным числом.

Если начало и конец вектора совпадают, получается нулевой вектор \(\vec 0\). Его длина равна нулю:

\[|\vec 0|=0.\]

Равные и противоположные векторы

Два вектора называются равными, если у них одинаковые длины и одинаковые направления.

Равные векторы могут находиться в разных частях рисунка. Положение вектора не имеет значения: важны только его длина и направление.

Векторы, имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными.

Если векторы имеют одинаковые длины, но противоположные направления, они называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору \(\vec a\), обозначают \(-\vec a\).

\[\vec a+(-\vec a)=\vec 0.\]

Сложение векторов

Суммой векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) называется вектор \(\vec a+\vec b\).

Сложить векторы можно по правилу треугольника. Для этого начало второго вектора совмещают с концом первого. Суммой будет вектор, направленный от начала первого вектора к концу второго.

Если

\[\vec a=\overrightarrow{AB},\qquad \vec b=\overrightarrow{BC},\]

то

\[\vec a+\vec b=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.\]

Сложить векторы можно и по правилу параллелограмма. Векторы откладывают из одной точки и строят на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала, изображает сумму векторов.

Порядок сложения не влияет на результат:

\[\vec a+\vec b=\vec b+\vec a.\]

При сложении с нулевым вектором вектор не изменяется:

\[\vec a+\vec 0=\vec a.\]

Вычитание векторов

Вычесть из вектора \(\vec a\) вектор \(\vec b\) — значит прибавить к \(\vec a\) вектор, противоположный \(\vec b\):

\[\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b).\]

Если векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) отложены из одной точки, то вектор \(\vec a-\vec b\) направлен из конца вектора \(\vec b\) в конец вектора \(\vec a\).

Если

\[\vec a=\overrightarrow{OA},\qquad \vec b=\overrightarrow{OB},\]

то

\[\vec a-\vec b=\overrightarrow{BA}.\]

Порядок вычитания важен:

\[\vec a-\vec b=-(\vec b-\vec a).\]

Например, вектор \(\vec a-\vec b\) направлен противоположно вектору \(\vec b-\vec a\).

Умножение вектора на число

При умножении вектора \(\vec a\) на число \(k\) получается вектор \(k\vec a\).

Длина нового вектора равна:

\[|k\vec a|=|k|\cdot|\vec a|.\]

Это означает, что длина вектора изменяется в \(|k|\) раз.

Направление вектора зависит от знака числа \(k\):

— если \(k>0\), направление вектора сохраняется;

— если \(k<0\), направление меняется на противоположное;

— если \(k=0\), получается нулевой вектор.

Например, вектор \(2\vec a\) сонаправлен с вектором \(\vec a\) и в два раза длиннее него.

Вектор \(-2\vec a\) направлен противоположно вектору \(\vec a\), а его длина также в два раза больше:

\[|-2\vec a|=2|\vec a|.\]

Векторы \(\vec a\) и \(k\vec a\) лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными.

Если ненулевые векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) коллинеарны, то один из них можно получить умножением другого на некоторое число:

\[\vec b=k\vec a.\]

Главное

— Вектор — это направленный отрезок.

— Длина вектора обозначается \(|\vec a|\) и всегда является неотрицательным числом.

— Равные векторы имеют одинаковые длины и одинаковые направления.

— Сложение выполняется по правилу треугольника или параллелограмма.

— Вычитание заменяется сложением с противоположным вектором.

— При умножении на положительное число направление сохраняется, а при умножении на отрицательное меняется на противоположное.

— Векторы \(\vec a\) и \(k\vec a\) коллинеарны.