Уравнения

Линейные уравнения

Уравнения вида ax + b = 0, где a ≠ 0, решаются следующим образом:

ax + b = 0,

ax = −b,

Например,

5x + 6 = 0,

5x = −6,

x = −1,2.

Дробно-рациональные уравнения

Уравнения вида (ax + b)/(cx + d) = 0, где a ≠ 0, c ≠ 0, решаются следующим образом:

Например,

Квадратные уравнения

Уравнения вида ax² = b, где a > 0, b ≥ 0, можно решать одним из следующих способов:

Способ 1.

Например,

  Способ 2.  

Например,

• Уравнения вида ax² + bx = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0, решаются следующим образом:

Например,

• Уравнения вида (ax + b)(cx + d) = 0, где a ≠ 0, c ≠ 0, решаются следующим образом:

Например, 

Уравнения вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 решаются следующим образом

Шаг 1. Находим дискриминант: D = b² − 4ac;

Шаг 2. Сравниваем D с нулём:

• Если D < 0, то уравнение не имеет корней: x ∈ ∅;

• Если D = 0, то уравнение имеет только один корень: x = −b/2a;

• Если D > 0, то уравнение имеет два корня: x₁,₂ = (−b ± √D)/2a.

При D ≥ 0 выражение ax² + bx + c можно представить в виде a(x − x₁)(x − x₂). При D = 0 по-другому можно сказать, что уравнение имеет два совпадающих корня x₁ = x₂ = −b/2a.

Теорема Виета: если в уравнении ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, D ≥ 0, то произведение и сумма его корней выражаются через эти коэффициенты a, b, c следующим образом:

Cистемы уравнений. Метод подстановки

Рассмотрим методы решения на примере следующей системы

1. Выразим из первого уравнения неизвестную переменную x.

Для этого нам нужно перенести все слагаемые, не содержащие x вправо, остальные - влево.

Получим:

x = y + 4

Приводить подобные слагаемые не нужно, так как коэффициент при x уже равен 1, значит делить уравнение ни на что не потребуется.

Тогда система имеет вид:

2. Теперь вместо х во второе уравнение подставляем полученное выражение y+4. Получим:

3. После подстановки решаем второе уравнение относительно второй переменной:

y + 4 + 2y = 10

y + 2y = 10 − 4

3y = 6

y = 2

4. Подставим полученное значение переменной y = 2 в замену. Получим:

x = 2 + 4

x = 6

Ответ: x = 6, y = 2

Системы уравнений. Метод сложения

Уравнения в системе можно складывать друг с другом. В таком случае, левая часть одного уравнения складывается с левой частью других уравнений, а правая — с правыми частями других уравнений.

При решении системы способом сложения задача заключается в том, чтобы избавиться от всех неизвестных переменных, оставив только одну. По-другому, после операции сложения исходных уравнений мы получаем одно уравнение с одной неизвестной переменной.

Также, мы можем любое из уравнений умножать или делить на любое число кроме 0.

1. Вернемся к примеру и домножим второе уравнение на -1. Получим:

2. Теперь сложим первое уравнение со вторым:

(x − y) + (−x − 2y) = 4 + (−10)

(x + (−x)) − (y + (−2y)) = 4 + (−10)

−3y = −6

3y = 6

y = 2

3. Подставим y = 2 в любое из исходных уравнений и найдем значение x:

x − 2 = 4

x = 4 + 2

x = 6

Ответ: x = 6, y = 2