Уравнение касательной к графику функции

Касательная — это прямая, которая проходит через точку графика и в этой точке имеет такое же направление, как график функции. В заданиях ЕГЭ обычно требуется составить уравнение касательной, найти точку касания или использовать условие о её наклоне.

Пусть функция имеет вид \(y=f(x)\), а касательная проводится в точке с абсциссой \(x_0\). Координаты точки касания равны

\[M\left(x_0;f(x_0)\right).\]

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в этой точке:

\[k=f'(x_0).\]

Поэтому уравнение касательной имеет вид

\[\boxed{y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)}.\]

Геометрический смысл производной

Производная \(f'(x_0)\) показывает наклон касательной к графику функции в точке \(x_0\).

Если \(\alpha\) — угол между касательной и положительным направлением оси \(Ox\), то

\[f'(x_0)=\tg\alpha.\]

Это означает:

— если \(f'(x_0)>0\), касательная поднимается слева направо;

— если \(f'(x_0)<0\), касательная опускается слева направо;

— если \(f'(x_0)=0\), касательная параллельна оси \(Ox\).

Здесь важно не путать две величины. Значение \(f(x_0)\) — это ордината точки касания, а значение \(f'(x_0)\) — угловой коэффициент касательной.

Как составить уравнение касательной

Для составления уравнения достаточно выполнить четыре действия:

— найти производную \(f'(x)\);

— вычислить \(f'(x_0)\);

— вычислить значение функции \(f(x_0)\);

— подставить полученные значения в формулу

\[y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).\]

После этого уравнение обычно упрощают до вида

\[y=kx+b.\]

Короткий пример

Составим уравнение касательной к графику функции

\[f(x)=x^2\]

в точке с абсциссой \(x_0=1\).

Сначала найдём производную:

\[f'(x)=2x.\]

Угловой коэффициент касательной равен

\[f'(1)=2.\]

Ордината точки касания:

\[f(1)=1.\]

Подставляем значения в формулу:

\[y=1+2(x-1).\]

Раскрываем скобки:

\[\boxed{y=2x-1}.\]

Касательная проходит через точку \(M(1;1)\). Действительно,

\[1=2\cdot1-1.\]

Если касательная параллельна заданной прямой

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.

Например, требуется найти касательную к графику

\[f(x)=x^2,\]

параллельную прямой

\[y=4x+7.\]

Угловой коэффициент заданной прямой равен \(4\). Поэтому должно выполняться условие

\[f'(x_0)=4.\]

Так как

\[f'(x)=2x,\]

получаем

\[2x_0=4,\qquad x_0=2.\]

Найдём ординату точки касания:

\[f(2)=4.\]

Составляем уравнение касательной:

\[y=4+4(x-2),\]

откуда

\[\boxed{y=4x-4}.\]

Свободный член \(7\) в уравнении исходной прямой не используется: для параллельности важен только коэффициент при \(x\).

Главное

— Точка касания имеет координаты \(\left(x_0;f(x_0)\right)\).

— Угловой коэффициент касательной равен \(f'(x_0)\).

— Основная формула: \(y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\).

— Сначала нужно найти \(f(x_0)\) и \(f'(x_0)\), а затем подставить их в формулу.

— Если касательная параллельна прямой \(y=kx+b\), то выполняется условие \(f'(x_0)=k\).