Угол, радианная мера и тригонометрическая окружность

Угол можно измерять не только в градусах, но и в радианах. Радианная мера используется почти во всех формулах и заданиях по тригонометрии на ЕГЭ.

Один радиан — это центральный угол, которому соответствует дуга, длина которой равна радиусу окружности.

Если \(l\) — длина дуги, а \(r\) — радиус окружности, то радианная мера угла вычисляется по формуле

\[\alpha=\frac{l}{r}.\]

Если длина дуги равна радиусу, то

\[\alpha=\frac{r}{r}=1\text{ рад}.\]

Связь градусов и радиан

Длина окружности радиуса \(r\) равна \(2\pi r\). Поэтому полному обороту соответствует угол

\[\frac{2\pi r}{r}=2\pi\text{ рад}.\]

Следовательно,

\[360^\circ=2\pi,\qquad 180^\circ=\pi.\]

Из этого получаются основные соответствия:

\[90^\circ=\frac{\pi}{2},\qquad 60^\circ=\frac{\pi}{3},\qquad 45^\circ=\frac{\pi}{4},\qquad 30^\circ=\frac{\pi}{6}.\]

Обозначение «рад» обычно не пишут. Например, запись \(\frac{\pi}{3}\) означает угол \(\frac{\pi}{3}\) радиан.

Перевод градусов в радианы

Чтобы перевести угол из градусов в радианы, нужно умножить его величину на \(\frac{\pi}{180^\circ}\):

\[\alpha^\circ=\alpha\cdot\frac{\pi}{180}.\]

Например,

\[150^\circ=150\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}.\]

Ещё один пример:

\[225^\circ=225\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}.\]

Перевод радиан в градусы

Чтобы перевести угол из радиан в градусы, нужно умножить его величину на \(\frac{180^\circ}{\pi}\):

\[\alpha=\alpha\cdot\frac{180^\circ}{\pi}.\]

Например,

\[\frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=135^\circ.\]

Аналогично,

\[\frac{7\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=210^\circ.\]

Тригонометрическая окружность

Тригонометрическая окружность — это окружность радиуса \(1\) с центром в начале координат.

Отсчёт угла начинается от положительного направления оси \(Ox\), то есть от точки \(A(1;0)\).

Угол откладывается следующим образом:

— против часовой стрелки — положительный угол;

— по часовой стрелке — отрицательный угол.

После поворота конечная сторона угла пересекает окружность в некоторой точке. Эту точку называют точкой, соответствующей углу.

Основные углы на окружности

Четверти окружности соответствуют следующим промежуткам:

— первая четверть: \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\);

— вторая четверть: \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\);

— третья четверть: \(\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\);

— четвёртая четверть: \(\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi\).

Основные положения на координатных осях:

\[0\quad\text{или}\quad2\pi\]

— положительное направление оси \(Ox\);

\[\frac{\pi}{2}\]

— положительное направление оси \(Oy\);

\[\pi\]

— отрицательное направление оси \(Ox\);

\[\frac{3\pi}{2}\]

— отрицательное направление оси \(Oy\).

Точки на координатных осях не принадлежат ни одной четверти.

Как отметить угол на окружности

Чтобы отметить положительный угол, движение начинают от точки \(A(1;0)\) против часовой стрелки.

Например,

\[\frac{5\pi}{6}=150^\circ.\]

Этот угол расположен между \(\frac{\pi}{2}\) и \(\pi\), поэтому его конечная сторона находится во второй четверти.

Отрицательный угол откладывают по часовой стрелке. Например,

\[-\frac{\pi}{3}=-60^\circ\]

соответствует направлению в четвёртой четверти.

Если угол больше \(2\pi\), из него можно вычесть полный оборот. Например,

\[\frac{13\pi}{6}-2\pi=\frac{13\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=\frac{\pi}{6}.\]

Следовательно, углы \(\frac{13\pi}{6}\) и \(\frac{\pi}{6}\) заканчиваются в одной точке окружности.

Углы, соответствующие одной точке

Один полный оборот равен \(2\pi\). Поэтому прибавление или вычитание полного оборота не изменяет конечное положение угла.

Все углы, соответствующие одной точке окружности, записываются в виде

\[\alpha+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Например, одной точке соответствуют углы

\[\frac{\pi}{4},\qquad \frac{\pi}{4}+2\pi,\qquad \frac{\pi}{4}-2\pi.\]

Главное

— Радианная мера центрального угла вычисляется по формуле \(\alpha=\frac{l}{r}\).

— \(180^\circ=\pi\), а \(360^\circ=2\pi\).

— Для перевода градусов в радианы нужно умножить угол на \(\frac{\pi}{180}\).

— Для перевода радиан в градусы нужно умножить угол на \(\frac{180^\circ}{\pi}\).

— Положительные углы откладываются против часовой стрелки, отрицательные — по часовой стрелке.

— Отсчёт углов начинается от положительного направления оси \(Ox\).

— Углы, отличающиеся на \(2\pi k\), соответствуют одной точке окружности.