Тригонометрические неравенства и смешанные преобразования

Тригонометрические неравенства содержат выражения с \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tg x\) или \(\ctg x\). Для их решения сначала выполняют необходимые преобразования, а затем переходят к простейшему неравенству.

Например,

\[\sin x>\frac12\]

можно решить по тригонометрической окружности, а неравенство

\[\cos2x+\sin x\geqslant0\]

сначала нужно преобразовать к одной тригонометрической функции.

Главная задача — определить, при каких углах значение функции находится выше, ниже, правее или левее заданного уровня.

Неравенства с синусом и косинусом

На тригонометрической окружности синус — это ордината точки, а косинус — её абсцисса.

Чтобы решить неравенство с синусом, проводят горизонтальную прямую. Например, для неравенства

\[\sin x>\frac12\]

проводят прямую \(y=\frac12\). Подходят точки окружности, расположенные выше этой прямой.

Граничные углы находятся из уравнения

\[\sin x=\frac12.\]

За один оборот это углы

\[x=\frac{\pi}{6}\qquad\text{и}\qquad x=\frac{5\pi}{6}.\]

Следовательно,

\[x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k;\frac{5\pi}{6}+2\pi k\right),\qquad k\in\mathbb Z.\]

Границы не включаются, потому что неравенство строгое.

Для неравенства с косинусом проводят вертикальную прямую. Например,

\[\cos x\leqslant\frac12.\]

Граничные углы:

\[x=\frac{\pi}{3}\qquad\text{и}\qquad x=\frac{5\pi}{3}.\]

Подходят точки, расположенные левее прямой \(x=\frac12\). Поэтому

\[x\in\left[\frac{\pi}{3}+2\pi k;\frac{5\pi}{3}+2\pi k\right],\qquad k\in\mathbb Z.\]

Границы включаются, потому что знак неравенства содержит равенство.

Неравенства с тангенсом и котангенсом

Неравенства с тангенсом и котангенсом удобно решать по графикам.

На каждом промежутке

\[\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right)\]

функция \(y=\tg x\) возрастает.

Например, решим неравенство

\[\tg x>1.\]

Сначала найдём граничную точку:

\[\tg x=1\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi k.\]

Так как тангенс возрастает, значения больше \(1\) находятся правее этой точки и до ближайшей асимптоты:

\[x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\qquad k\in\mathbb Z.\]

Функция \(y=\ctg x\), наоборот, убывает на каждом промежутке

\[(\pi k;\pi+\pi k).\]

Поэтому направление неравенства нельзя переносить с тангенса на котангенс без проверки по графику.

Например,

\[\ctg x\leqslant1.\]

Равенство выполняется при

\[x=\frac{\pi}{4}+\pi k.\]

Так как котангенс убывает, получаем

\[x\in\left[\frac{\pi}{4}+\pi k;\pi+\pi k\right),\qquad k\in\mathbb Z.\]

Точка \(\pi+\pi k\) не включается, потому что в ней котангенс не существует.

Общий алгоритм решения

Тригонометрическое неравенство удобно решать по следующему плану:

— найти область допустимых значений, если в выражении есть знаменатели или корни;

— перенести все части в одну сторону;

— применить тригонометрические тождества и формулы;

— свести выражение к одной тригонометрической функции;

— при необходимости выполнить замену переменной;

— решить полученное алгебраическое неравенство;

— вернуться к тригонометрической функции;

— решить простейшее тригонометрическое неравенство;

— проверить границы и область допустимых значений.

Смешанные преобразования

В одном неравенстве могут одновременно использоваться формулы двойного угла, основные тождества, разложение на множители и замена переменной.

Решим неравенство

\[\cos2x+\sin x\geqslant0.\]

Выразим косинус двойного угла через синус:

\[\cos2x=1-2\sin^2x.\]

Получаем

\[1-2\sin^2x+\sin x\geqslant0.\]

Выполним замену

\[t=\sin x,\qquad -1\leqslant t\leqslant1.\]

Тогда

\[1-2t^2+t\geqslant0.\]

Перенесём знак перед квадратным выражением:

\[2t^2-t-1\leqslant0.\]

Разложим на множители:

\[(2t+1)(t-1)\leqslant0.\]

Отсюда

\[-\frac12\leqslant t\leqslant1.\]

Возвращаемся к исходной переменной:

\[-\frac12\leqslant\sin x\leqslant1.\]

Так как синус всегда не больше \(1\), остаётся условие

\[\sin x\geqslant-\frac12.\]

Получаем

\[x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi k;\frac{7\pi}{6}+2\pi k\right],\qquad k\in\mathbb Z.\]

Здесь важно учитывать ограничение \(-1\leqslant t\leqslant1\). Без него в ответ могут попасть значения, которые синус или косинус принимать не могут.

Неравенства, сводящиеся к произведению

Иногда после преобразований получается выражение вида

\[A(x)\cdot B(x)>0.\]

В этом случае недостаточно отдельно решить два простейших неравенства. Нужно определить знаки обоих множителей и использовать метод интервалов.

Например,

\[\sin2x+\sin x>0.\]

Используем формулу \(\sin2x=2\sin x\cos x\):

\[2\sin x\cos x+\sin x>0.\]

Выносим общий множитель:

\[\sin x(2\cos x+1)>0.\]

Граничные точки находятся из уравнений

\[\sin x=0\]

и

\[2\cos x+1=0.\]

После этого точки отмечают на числовой прямой и определяют знак произведения на каждом промежутке.

Что важно проверять

Если неравенство строгое, точки равенства в ответ не входят.

Если неравенство нестрогое, точки равенства включаются только тогда, когда исходное выражение в них определено.

Например, асимптоты тангенса и котангенса не включаются никогда, даже если используется знак \(\leqslant\) или \(\geqslant\).

При замене \(t=\sin x\) или \(t=\cos x\) обязательно учитывается условие

\[-1\leqslant t\leqslant1.\]

Для замены \(t=\tg x\) такого ограничения нет:

\[t\in\mathbb R.\]

Главное

— Неравенства с синусом и косинусом удобно решать по тригонометрической окружности.

— Для синуса сравнивают ординаты, для косинуса — абсциссы точек.

— Тангенс возрастает на каждом промежутке между асимптотами.

— Котангенс убывает на каждом промежутке между асимптотами.

— Перед решением смешанного неравенства выражение нужно свести к одной тригонометрической функции.

— При замене \(t=\sin x\) или \(t=\cos x\) учитывается ограничение \(-1\leqslant t\leqslant1\).

— Точки, в которых исходное выражение не существует, никогда не включаются в ответ.