Таблица производных и правила дифференцирования

\(\textbf{Дифференцировать функцию}\) — значит найти её производную. Для этого используют таблицу производных и несколько основных правил.

Производную функции \(f(x)\) обозначают \(f'(x).\)

Например, \((x^2)'=2x,\qquad (\sin x)'=\cos x.\)

Основные производные

Здесь \(c\) — постоянное число, константа, \(n\) — число, а \(a>0\), \(a\ne1\).

Например,

\[(x^5)'=5x^4,\qquad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\]

Производная суммы и разности

Производную каждого слагаемого находят отдельно:

\[(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x).\]

Например,

\[(3x^4-5x^2+7)'=12x^3-10x.\]

Производная постоянного числа равна нулю, поэтому число \(7\) исчезло.

Постоянный множитель

Число перед функцией сохраняется:

\[(cf(x))'=cf'(x).\]

Например,

\[(6\sin x)'=6\cos x,\]\[(-4x^3)'=-12x^2.\]

Производная произведения

Если переменная содержится в обоих множителях, нельзя просто перемножить их производные.

Используется правило

\[(fg)'=f'g+fg'.\]

Например,

\[\bigl(x^2(x+1)\bigr)' = 2x(x+1)+x^2\cdot1.\]

После упрощения:

\[\bigl(x^2(x+1)\bigr)'=3x^2+2x.\]

Если выражение легко раскрыть, иногда удобнее сначала выполнить умножение:

\[x^2(x+1)=x^3+x^2.\]

Тогда

\[(x^3+x^2)'=3x^2+2x.\]

Производная частного

Для дроби используется правило

\[\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}, \qquad g(x)\ne0.\]

Важно соблюдать порядок в числителе: сначала \(f'g\), затем вычитается \(fg'\).

Например,

\[\left(\frac{x^2+1}{x}\right)' = \frac{2x\cdot x-(x^2+1)\cdot1}{x^2}.\]

После упрощения:

\[\left(\frac{x^2+1}{x}\right)' = \frac{x^2-1}{x^2}.\]

Иногда дробь удобнее сначала преобразовать:

\[\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}.\]

Тогда

\[\left(x+\frac{1}{x}\right)' = 1-\frac{1}{x^2}.\]

Оба ответа равносильны.

В каком порядке находить производную

Сначала нужно определить вид выражения:

1. сумма или разность;
2. произведение;
3. частное;
4. отдельная функция из таблицы.

После этого применяют нужное правило и упрощают результат.

Например,

\[f(x)=2x^3-4\cos x+\ln x.\]

Находим производную каждого слагаемого:

\[f'(x)=6x^2+4\sin x+\frac{1}{x}.\]

Знак перед косинусом требует внимания:

\[(-4\cos x)'=-4(-\sin x)=4\sin x.\]

Область допустимых значений

Формулы производных применяются только там, где функция и её производная имеют смысл.

Например:

— для \(\ln x\) и \(\log_a x\) требуется \(x>0\);
— производная \(\sqrt{x}\) по формуле \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) существует при \(x>0\);
— для \(\tg x\) требуется \(\cos x\ne0\);
— для \(\ctg x\) требуется \(\sin x\ne0\);
— в дроби знаменатель не должен быть равен нулю.

Главное

— Производная постоянного числа равна нулю.
— Степень уменьшается на единицу, а прежний показатель становится множителем: \((x^n)'=nx^{n-1}.\)
— Сумму и разность можно дифференцировать по частям.
— Постоянный множитель выносится за знак производной.
— Для произведения используется формула \((fg)'=f'g+fg'.\)
— Для частного используется формула \(\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.\)