Степени: определение, свойства и преобразования

Степени позволяют коротко записывать повторяющееся умножение. В ЕГЭ они часто встречаются в вычислениях, преобразовании выражений, уравнениях и неравенствах. Главное — знать свойства степеней и не применять их там, где они не работают.

Определение степени

Если \(n\) — натуральное число, то

\[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}.\]

Число \(a\) называют \(\textbf{основанием степени}\), число \(n\) — \(\textbf{показателем степени}\).

Например,

\[2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16.\]

Если показатель равен \(1\), то

\[a^1=a.\]

Если показатель равен \(0\), то

\[a^0=1, \quad a\ne 0.\]

Например, \(7^0=1\), но выражение \(0^0\) в школьной математике не используют.

Если показатель отрицательный, степень записывается через дробь:

\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \quad a\ne 0.\]

Например,

\[2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}.\]

Основные свойства степеней

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[a^m\cdot a^n=a^{m+n}.\]

Например,

\[x^3\cdot x^5=x^8.\]

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\[\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \quad a\ne 0.\]

Например,

\[\frac{x^7}{x^2}=x^5.\]

Степень степени раскрывается так:

\[(a^m)^n=a^{mn}.\]

Например,

\[(x^2)^5=x^{10}.\]

Степень произведения равна произведению степеней:

\[(ab)^n=a^n b^n.\]

Степень дроби равна дроби из степеней:

\[\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \quad b\ne 0.\]

Степени с рациональным показателем

Степень с дробным показателем связана с корнем:

\[a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}.\]

В школьных задачах чаще всего встречается запись

\[a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.\]

Например,

\[27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3.\]\[16^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8.\]

Для чётного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Поэтому при дробных показателях с чётным знаменателем нужно учитывать допустимые значения.

Преобразование выражений со степенями

При упрощении выражений нужно смотреть на основания и показатели.

Например,

\[3x^2\cdot 5x^4=15x^6.\]

Здесь числовые множители перемножаются, а степени с основанием \(x\) объединяются по свойству \(x^2\cdot x^4=x^6\).

Ещё пример:

\[\frac{12a^5b^2}{3a^2b}=4a^3b.\]

При возведении одночлена в степень показатель степени умножается на каждый показатель внутри скобок:

\[(2x^3y)^2=4x^6y^2.\]

Если перед скобками стоит минус, знак зависит от чётности показателя:

\[(-a)^2=a^2,\]\[(-a)^3=-a^3.\]

Но важно различать записи:

\[(-3)^2=9,\]\[-3^2=-9.\]

Во второй записи степень относится только к числу \(3\), а минус стоит перед результатом.

Главное

Степень \(a^n\) означает произведение \(n\) одинаковых множителей \(a\). При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются. Степень степени раскрывается по правилу \((a^m)^n=a^{mn}\). Отрицательный показатель переводит степень в знаменатель: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Дробный показатель связан с корнем. При преобразованиях важно следить за основанием степени, знаками и допустимыми значениями.