Случайные величины, математическое ожидание и распределения

Здесь нужно уметь работать с распределением вероятностей, находить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение, а также понимать основные свойства некоторых распределений.

Главная идея достаточно простая: случайная величина может принимать разные числовые значения, причём каждое значение появляется с определённой вероятностью.

Основные обозначения:

\(X\) — случайная величина;

\(P\) — вероятность;

\(M(X)\) — математическое ожидание;

\(D(X)\) — дисперсия;

\(\sigma(X)\) — стандартное отклонение;

\(F(x)\) — функция распределения.

Случайная величина

Случайная величина — это числовой результат случайного опыта.

Например, один лотерейный билет может принести выигрыш

\(0\), \(100\), \(1000\) или \(5000\) рублей.

Тогда \(X\) — величина выигрыша на один билет.

Другой пример: баскетболист делает 5 бросков, а \(X\) — количество попаданий.

Тогда возможные значения:

\[0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5.\]

Заранее неизвестно, какое именно значение примет \(X\), поэтому величина называется случайной.

Распределение вероятностей

Распределение вероятностей показывает:

— какие значения может принимать случайная величина;

— с какой вероятностью появляется каждое значение.

Например, случайная величина \(X\) принимает:

\(0\) с вероятностью \(0{,}5\);

\(10\) с вероятностью \(0{,}3\);

\(20\) с вероятностью \(0{,}2\).

Обязательно выполняется правило:

\[0{,}5+0{,}3+0{,}2=1.\]

Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины всегда равна 1.

Если количество исходов известно, вероятность каждого значения иногда сначала приходится вычислять самостоятельно.

Математическое ожидание

Математическое ожидание показывает средний результат, который можно ожидать при большом количестве одинаковых случайных опытов.

Если случайная величина принимает значения \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) с вероятностями \(p_1,p_2,\ldots,p_n\), то

\[M(X)=x_1p_1+x_2p_2+\ldots+x_np_n.\]

Алгоритм простой:

— каждое значение умножить на его вероятность;

— полученные произведения сложить.

Например, случайная величина принимает значение \(0\) с вероятностью \(0{,}7\) и значение \(100\) с вероятностью \(0{,}3\).

Тогда

\[M(X)=0\cdot0{,}7+100\cdot0{,}3=30.\]

Математическое ожидание равно 30.

При этом сама случайная величина никогда не принимает значение 30: возможны только 0 и 100.

Число 30 показывает средний результат большого количества повторений.

Математическое ожидание в задачах на лотерею

Типичный формат задания — известны количество билетов и размеры выигрышей.

Например, выпущено \(10000\) билетов.

Пусть:

500 билетов выигрывают 100 рублей;

100 билетов — 1000 рублей;

50 билетов — 5000 рублей;

10 билетов — 10000 рублей;

1 билет — 50000 рублей.

Остальные билеты имеют выигрыш 0 рублей.

Вероятность получить выигрыш 100 рублей:

\[\frac{500}{10000}.\]

Для остальных выигрышей вероятности находятся так же.

Математическое ожидание выигрыша:

\[M(X)=100\cdot\frac{500}{10000}+1000\cdot\frac{100}{10000}+5000\cdot\frac{50}{10000}+10000\cdot\frac{10}{10000}+50000\cdot\frac1{10000}.\]

Получаем

\[M(X)=55.\]

Это означает, что средний выигрыш на один билет при очень большом количестве купленных билетов составляет 55 рублей.

Есть и более короткий способ. Можно сначала найти общую сумму всех выигрышей:

\[100\cdot500+1000\cdot100+5000\cdot50+10000\cdot10+50000\cdot1=550000.\]

После этого разделить её на количество билетов:

\[M(X)=\frac{550000}{10000}=55.\]

Дисперсия

Математическое ожидание показывает среднее значение, но не показывает, насколько сильно результаты могут от него отличаться.

Для этого используется дисперсия.

Формула:

\[D(X)=(x_1-M(X))^2p_1+(x_2-M(X))^2p_2+\ldots+(x_n-M(X))^2p_n.\]

Алгоритм:

— найти математическое ожидание;

— из каждого возможного значения вычесть математическое ожидание;

— полученную разность возвести в квадрат;

— умножить на вероятность этого значения;

— сложить результаты.

Например, случайная величина принимает значения 0 и 2 с одинаковыми вероятностями:

\[P=\frac12.\]

Математическое ожидание:

\[M(X)=0\cdot\frac12+2\cdot\frac12=1.\]

Дисперсия:

\[D(X)=(0-1)^2\cdot\frac12+(2-1)^2\cdot\frac12=1.\]

Чем больше дисперсия, тем сильнее разброс возможных результатов.

Более короткая формула дисперсии

Иногда дисперсию удобнее вычислять по формуле

\[D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.\]

Сначала находится

\[M(X^2)=x_1^2p_1+x_2^2p_2+\ldots+x_n^2p_n,\]

а затем вычитается квадрат математического ожидания.

Обе формулы дают одинаковый результат.

В конкретной задаче можно выбирать ту запись, которая приводит к более коротким вычислениям.

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение находится через дисперсию:

\[\sigma(X)=\sqrt{D(X)}.\]

Оно также характеризует разброс значений случайной величины.

Например, если

\[D(X)=16,\]

то

\[\sigma(X)=4.\]

Чем меньше стандартное отклонение, тем ближе результаты обычно находятся к среднему значению.

Чем оно больше, тем сильнее разброс результатов.

Функция распределения

Функция распределения показывает вероятность того, что случайная величина примет значение не больше заданного числа \(x\).

Обозначение:

\[F(x)=P(X\le x).\]

Например, если

\[F(10)=0{,}8,\]

это означает, что вероятность получить значение не больше 10 равна \(0{,}8\).

У функции распределения есть несколько важных свойств.

— Её значения находятся от 0 до 1.

— При увеличении \(x\) функция распределения не уменьшается.

— Для очень маленьких значений \(x\) она приближается к 0.

— Для очень больших значений \(x\) она приближается к 1.

Главное — понимать смысл записи \(F(x)\), а не воспринимать её как обычную функцию без связи с вероятностью.

Плотность распределения

Для некоторых случайных величин возможных значений очень много: они могут принимать любое значение из некоторого промежутка.

Например, случайной величиной может быть время ожидания автобуса или рост случайно выбранного человека.

Для таких величин используют плотность распределения.

Обычно её обозначают

\[f(x).\]

График плотности показывает, в каких областях значения случайной величины встречаются чаще.

При этом значение \(f(x)\) само по себе не является вероятностью получить ровно \(x\).

Для непрерывной случайной величины вероятность попасть точно в одно конкретное значение равна нулю. Рассматривают вероятность попадания в некоторый промежуток.

Равномерное распределение

При равномерном распределении все одинаковые по длине участки заданного промежутка имеют одинаковую вероятность.

Например, случайно выбирается число из промежутка от \(a\) до \(b\).

Плотность внутри этого промежутка постоянна:

\[f(x)=\frac1{b-a}.\]

Поэтому вероятность попадания в некоторый промежуток можно находить как отношение его длины к длине всего промежутка.

Например, число случайно выбирают из промежутка от 0 до 10.

Вероятность попасть от 2 до 5:

\[P=\frac{5-2}{10-0}=\frac3{10}.\]

Для равномерного распределения математическое ожидание находится посередине промежутка:

\[M(X)=\frac{a+b}{2}.\]

Показательное распределение

Показательное распределение часто используется для описания времени ожидания некоторого события.

Например:

— времени до следующего звонка;

— времени до появления заявки;

— времени работы устройства до отказа.

В таком распределении используется положительный параметр \(\lambda\).

Плотность имеет вид

\[f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x\ge0.\]

Функция распределения:

\[F(x)=1-e^{-\lambda x},\qquad x\ge0.\]

Математическое ожидание:

\[M(X)=\frac1\lambda.\]

Например, если

\[\lambda=0{,}2,\]

то среднее время ожидания равно

\[M(X)=\frac1{0{,}2}=5.\]

В задачах важнее понимать смысл параметров и уметь подставлять значения в готовые формулы, чем самостоятельно выводить эти формулы.

Нормальное распределение

Нормальное распределение встречается во многих ситуациях, когда значения группируются около некоторого среднего.

Его график имеет характерную форму колокола.

В центре находится математическое ожидание:

\[\mu=M(X).\]

Параметр \(\sigma\) показывает стандартное отклонение.

Чем меньше \(\sigma\), тем сильнее значения сосредоточены около среднего.

Чем больше \(\sigma\), тем шире распределены значения.

Нормальное распределение симметрично относительно математического ожидания.

Это означает, например, что вероятность получить значение меньше среднего равна вероятности получить значение больше среднего:

\[P(X<\mu)=P(X>\mu)=0{,}5.\]

В задачах обычно требуется понимать график нормального распределения, его симметрию и влияние математического ожидания и стандартного отклонения.

Что важно уметь в задании

Если дано распределение случайной величины, сначала нужно определить возможные значения \(X\) и их вероятности.

Затем проверить:

\[\sum p=1.\]

Если требуется математическое ожидание, используются произведения

\[\text{значение}\cdot\text{вероятность}.\]

Если требуется дисперсия, сначала удобно найти математическое ожидание.

Если требуется стандартное отклонение:

\[\sigma=\sqrt D.\]

Если дана функция распределения \(F(x)\), нужно помнить:

\[F(x)=P(X\le x).\]

Если говорится о равномерном, показательном или нормальном распределении, сначала нужно определить, какое свойство распределения требуется использовать, а не пытаться применять все формулы сразу.

Главное

— Случайная величина \(X\) принимает числовые значения с определёнными вероятностями.

— Сумма вероятностей всех возможных значений равна 1.

— Математическое ожидание показывает средний результат: \(M(X)=x_1p_1+x_2p_2+\ldots+x_np_n\).

— Дисперсия характеризует разброс значений относительно математического ожидания.

— Стандартное отклонение находится по формуле \(\sigma(X)=\sqrt{D(X)}\).

— Функция распределения имеет смысл \(F(x)=P(X\le x)\).

— При равномерном распределении равные по длине промежутки имеют одинаковую вероятность.

— Показательное распределение часто описывает время ожидания события.

— Нормальное распределение симметрично относительно математического ожидания и имеет форму колокола.