Сложная вероятность: условная вероятность, формула полной вероятности, Байес

В задании №5 ЕГЭ иногда встречаются задачи, где вероятность одного события зависит от того, что произошло раньше. В таких задачах важно не запоминать много сложных обозначений, а понимать последовательность событий.

Сначала разберём обозначения.

\(P(A)\) — вероятность события \(A\).

\(P(B)\) — вероятность события \(B\).

\(P(A\mid B)\) — вероятность события \(A\), если известно, что событие \(B\) уже произошло.

Знак \(\mid\) можно читать как «при условии, что».

\(A\cap B\) означает, что произошли оба события: и \(A\), и \(B\).

Например, если \(A\) — «ученик получил пятёрку», а \(B\) — «ученик готовился к экзамену», то \(P(A\mid B)\) — вероятность получить пятёрку при условии, что ученик готовился.

Условная вероятность

Условная вероятность появляется тогда, когда нам уже известна какая-то дополнительная информация.

Формула:

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\]

Проще говоря, теперь нужно рассматривать не все возможные случаи, а только те, где событие \(B\) уже произошло.

Например, в классе 20 учеников. Из них 12 занимаются спортом, а 6 одновременно занимаются спортом и являются отличниками.

Известно, что случайно выбранный ученик занимается спортом. Какова вероятность того, что он отличник?

Теперь нас интересуют только 12 спортсменов. Среди них 6 отличников.

Поэтому

\[P=\frac6{12}=\frac12.\]

То есть после появления условия общее количество рассматриваемых случаев изменилось.

Зависимые события

Иногда результат первого события меняет вероятность второго.

Например, в коробке лежат 5 белых и 3 чёрных шара. Два шара достают подряд без возвращения.

Вероятность достать первым белый шар:

\[\frac58.\]

Если первый шар оказался белым, осталось 7 шаров, из которых белых уже 4.

Вероятность достать второй белый шар:

\[\frac47.\]

Чтобы произошли оба события, вероятности перемножаем:

\[P=\frac58\cdot\frac47=\frac5{14}.\]

Здесь важно пересчитывать вероятность после первого события, потому что количество предметов изменилось.

Если предмет после выбора возвращают обратно, состав не меняется и вероятность при следующем выборе остаётся прежней.

Формула полной вероятности

Иногда одно событие может произойти несколькими разными способами.

Например, товар может быть изготовлен на первом или на втором заводе, а затем оказаться бракованным.

В такой ситуации нужно отдельно найти вероятность каждого пути, а затем сложить результаты.

Пусть:

\(60\%\) товаров производит первый завод;

\(40\%\) товаров производит второй завод;

на первом заводе брак составляет \(2\%\);

на втором заводе — \(5\%\).

Найдём вероятность случайно получить бракованный товар.

Вероятность получить товар с первого завода и обнаружить брак:

\[0{,}6\cdot0{,}02=0{,}012.\]

Вероятность получить товар со второго завода и обнаружить брак:

\[0{,}4\cdot0{,}05=0{,}02.\]

Теперь складываем:

\[P=0{,}012+0{,}02=0{,}032.\]

Получаем

\[P=3{,}2\%.\]

Именно это и есть основная идея формулы полной вероятности:

— найти все способы, которыми может произойти нужное событие;

— для каждого способа перемножить вероятности по цепочке;

— полученные результаты сложить.

Формула Байеса

Формула Байеса используется, когда результат уже известен, а нужно определить, откуда он появился.

Продолжим пример с двумя заводами.

Мы уже нашли, что вероятность получить бракованный товар равна

\[0{,}032.\]

Теперь известно, что выбранный товар действительно оказался бракованным. Нужно найти вероятность того, что его произвёл второй завод.

Вероятность получить товар именно со второго завода и получить брак равна

\[0{,}4\cdot0{,}05=0{,}02.\]

Среди всех случаев брака нас интересует только брак со второго завода:

\[P=\frac{0{,}02}{0{,}032}=0{,}625.\]

Значит,

\[P=62{,}5\%.\]

В школьных задачах формулу Байеса удобно понимать именно так:

\[\text{нужные случаи среди всех случаев с уже известным результатом}.\]

Можно использовать и общую формулу:

\[P(B\mid A)=\frac{P(B)\cdot P(A\mid B)}{P(A)}.\]

Но важнее понимать её смысл, чем просто запоминать обозначения.

Как решать такие задачи

Сначала нужно определить последовательность событий.

Если события происходят одно за другим по одному пути, вероятности обычно перемножаются.

Например:

\[\text{первый завод}\rightarrow\text{брак}.\]

Вероятность такого пути:

\[0{,}6\cdot0{,}02.\]

Если нужный результат может получиться несколькими разными путями, вероятности этих путей складываются.

Например:

\[\text{брак с первого завода}+\text{брак со второго завода}.\]

Если в условии уже сказано, что некоторое событие произошло, нужно учитывать это как новое условие и рассматривать только подходящие случаи.

Главное

— \(P(A)\) означает вероятность события \(A\).

— \(P(A\mid B)\) означает вероятность события \(A\), если известно, что событие \(B\) уже произошло.

— В последовательной цепочке событий вероятности обычно перемножаются.

— Если нужное событие может произойти несколькими разными способами, вероятности этих способов складываются.

— Формула полной вероятности помогает найти общую вероятность события по всем возможным путям.

— Формула Байеса используется, когда результат уже известен и нужно определить наиболее вероятную причину.

— В задачах №5 важнее правильно понять последовательность событий, чем запоминать большое количество сложных обозначений.