Системы уравнений и неравенств

\(\textbf{Системой}\) называют несколько уравнений или неравенств, которые должны выполняться одновременно. Решением системы является значение переменной или набор значений переменных, подходящий под каждое её условие.

Основная идея

Систему обозначают фигурной скобкой:

\[\begin{cases} x+y=7,\\ x-y=1. \end{cases}\]

Решением этой системы является пара чисел \((x;y)\), которая обращает оба уравнения в верные равенства.

Сложим уравнения:

\[2x=8,\]\[x=4.\]

Подставим найденное значение в первое уравнение:

\[4+y=7,\]\[y=3.\]

Ответ:

\[(4;3).\]

В системе неравенств нужно найти \(\textbf{пересечение решений}\), то есть значения, удовлетворяющие всем неравенствам одновременно.

Например:

\[\begin{cases} x>-2,\\ x\le4. \end{cases}\]

Общее решение:

\[x\in(-2;4].\]

Системы линейных уравнений

Система двух линейных уравнений с двумя переменными обычно имеет вид

\[\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases}\]

Основные способы решения:

— метод подстановки;
— метод сложения;
— графический способ.

Метод подстановки

Из одного уравнения выражают одну переменную и подставляют полученное выражение в другое уравнение.

Решим систему

\[\begin{cases} y=2x+1,\\ x+y=7. \end{cases}\]

Подставим \(y=2x+1\) во второе уравнение:

\[x+2x+1=7,\]\[3x=6,\]\[x=2.\]

Теперь найдём \(y\):

\[y=2\cdot2+1=5.\]

Ответ:

\[(2;5).\]

Метод подстановки особенно удобен, если одна из переменных уже выражена или её легко выразить.

Метод сложения

Уравнения складывают или вычитают так, чтобы одна из переменных исчезла.

Решим систему

\[\begin{cases} 2x+y=7,\\ 3x-y=8. \end{cases}\]

Сложим уравнения:

\[5x=15,\]\[x=3.\]

Подставим \(x=3\) в первое уравнение:

\[2\cdot3+y=7,\]\[y=1.\]

Ответ:

\[(3;1).\]

Если коэффициенты при переменной не противоположны, одно или оба уравнения можно предварительно умножить на подходящее число.

Например:

\[\begin{cases} 2x+3y=7,\\ x-y=1. \end{cases}\]

Умножим второе уравнение на \(3\):

\[\begin{cases} 2x+3y=7,\\ 3x-3y=3. \end{cases}\]

После сложения получим

\[5x=10,\]\[x=2.\]

Тогда

\[2-y=1,\]\[y=1.\]

Количество решений системы

Система двух линейных уравнений может иметь:

— одно решение;
— не иметь решений;
— иметь бесконечно много решений.

Например, система

\[\begin{cases} x+y=3,\\ 2x+2y=6 \end{cases}\]

имеет бесконечно много решений, потому что второе уравнение получается умножением первого на \(2\).

Система

\[\begin{cases} x+y=3,\\ x+y=5 \end{cases}\]

не имеет решений, поскольку одна и та же сумма не может одновременно равняться \(3\) и \(5\).

Системы нелинейных уравнений

В нелинейных системах могут встречаться квадраты переменных, произведения, дроби, корни и другие выражения.

Например:

\[\begin{cases} y=x+2,\\ x^2+y=8. \end{cases}\]

Подставим \(y=x+2\) во второе уравнение:

\[x^2+x+2=8,\]\[x^2+x-6=0,\]\[(x+3)(x-2)=0.\]

Отсюда

\[x=-3\]

или

\[x=2.\]

Найдём соответствующие значения \(y\):

\[x=-3 \quad \Longrightarrow \quad y=-1,\]\[x=2 \quad \Longrightarrow \quad y=4.\]

Ответ:

\[(-3;-1), \qquad (2;4).\]

Каждое найденное значение \(x\) должно давать свою пару \((x;y)\).

Системы неравенств

При решении системы неравенств сначала решают каждое неравенство отдельно, а затем находят пересечение полученных множеств.

Решим систему

\[\begin{cases} 2x-1>3,\\ x+2\le7. \end{cases}\]

Первое неравенство:

\[2x>4,\]\[x>2.\]

Второе неравенство:

\[x\le5.\]

Пересечение решений:

\[x\in(2;5].\]

Если промежутки не пересекаются, система не имеет решений.

Например:

\[\begin{cases} x<1,\\ x\ge3. \end{cases}\]

Общих значений нет, поэтому ответ — пустое множество:

\[\varnothing.\]

Системы с несколькими ограничениями

В одной системе может быть больше двух условий.

Например:

\[\begin{cases} x\ge-1,\\ x<4,\\ x\ne2. \end{cases}\]

Сначала пересекаем первые два условия:

\[x\in[-1;4).\]

Затем исключаем значение \(x=2\):

\[x\in[-1;2)\cup(2;4).\]

Главное

В системе все условия должны выполняться одновременно. Системы уравнений обычно решают методом подстановки или сложения. Ответом системы с двумя переменными является пара чисел \((x;y)\). В системах неравенств необходимо находить пересечение решений. Если общих значений нет, система не имеет решений. Все найденные значения нужно проверять во всех уравнениях или неравенствах системы.