Синус, косинус, тангенс и котангенс: значения и знаки

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции угла. Их значения удобно определять с помощью тригонометрической окружности.

Если углу \(\alpha\) соответствует точка \(M\) на окружности радиуса \(1\), то её координаты имеют вид

\[M(\cos\alpha;\sin\alpha).\]

Это означает:

— \(\cos\alpha\) — абсцисса точки \(M\);

— \(\sin\alpha\) — ордината точки \(M\).

Тангенс и котангенс определяются через синус и косинус:

\[\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.\]

Когда тангенс и котангенс не существуют

В значении тангенса в знаменателе находится \(\cos\alpha\). Поэтому тангенс не существует, если

\[\cos\alpha=0.\]

Это происходит при углах

\[\alpha=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

В значении котангенса в знаменателе находится \(\sin\alpha\). Поэтому котангенс не существует, если

\[\sin\alpha=0.\]

Это происходит при углах

\[\alpha=\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Значения основных углов

Значения синуса и косинуса для углов \(0\), \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{\pi}{2}\) нужно знать.

Значения тангенса и котангенса можно находить по формулам

\[\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.\]

Например,

\[\tg\frac{\pi}{3}=\frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{3}}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12}=\sqrt3.\]

А для угла \(\frac{\pi}{2}\) тангенс не существует, потому что

\[\cos\frac{\pi}{2}=0.\]

Знаки синуса и косинуса

Знак синуса определяется ординатой точки на окружности.

— В первой и второй четвертях точка находится выше оси \(Ox\), поэтому \(\sin\alpha>0\).

— В третьей и четвёртой четвертях точка находится ниже оси \(Ox\), поэтому \(\sin\alpha<0\).

Знак косинуса определяется абсциссой точки.

— В первой и четвёртой четвертях точка находится справа от оси \(Oy\), поэтому \(\cos\alpha>0\).

— Во второй и третьей четвертях точка находится слева от оси \(Oy\), поэтому \(\cos\alpha<0\).

Знаки тангенса и котангенса

Тангенс и котангенс являются отношениями синуса и косинуса.

Если синус и косинус имеют одинаковые знаки, то тангенс и котангенс положительны. Если знаки разные, то тангенс и котангенс отрицательны.

Поэтому:

— в первой четверти \(\tg\alpha>0\) и \(\ctg\alpha>0\);

— во второй четверти \(\tg\alpha<0\) и \(\ctg\alpha<0\);

— в третьей четверти \(\tg\alpha>0\) и \(\ctg\alpha>0\);

— в четвёртой четверти \(\tg\alpha<0\) и \(\ctg\alpha<0\).

Как определить знак выражения

Сначала нужно определить, в какой четверти расположен угол, а затем воспользоваться схемой знаков.

Например,

\[\frac{2\pi}{3}\]

находится во второй четверти. Поэтому

\[\sin\frac{2\pi}{3}>0,\qquad \cos\frac{2\pi}{3}<0,\]

\[\tg\frac{2\pi}{3}<0,\qquad \ctg\frac{2\pi}{3}<0.\]

Угол

\[\frac{7\pi}{4}\]

находится в четвёртой четверти. Следовательно,

\[\sin\frac{7\pi}{4}<0,\qquad \cos\frac{7\pi}{4}>0,\]

\[\tg\frac{7\pi}{4}<0,\qquad \ctg\frac{7\pi}{4}<0.\]

Значения на координатных осях

Для углов, соответствующих точкам на координатных осях, значения синуса и косинуса равны \(0\), \(1\) или \(-1\):

\[\sin0=0,\qquad \cos0=1,\]

\[\sin\frac{\pi}{2}=1,\qquad \cos\frac{\pi}{2}=0,\]

\[\sin\pi=0,\qquad \cos\pi=-1,\]

\[\sin\frac{3\pi}{2}=-1,\qquad \cos\frac{3\pi}{2}=0.\]

В этих точках нужно отдельно проверять существование тангенса и котангенса.

Главное

— Точке угла \(\alpha\) соответствуют координаты \((\cos\alpha;\sin\alpha)\).

— Синус — это ордината точки, косинус — её абсцисса.

— \(\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), поэтому тангенс не существует при \(\cos\alpha=0\).

— \(\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\), поэтому котангенс не существует при \(\sin\alpha=0\).

— Синус положителен в первой и второй четвертях.

— Косинус положителен в первой и четвёртой четвертях.

— Тангенс и котангенс положительны в первой и третьей четвертях.