Рациональные уравнения и неравенства

Главное о рациональных выражениях

\(\textbf{Рациональные уравнения и неравенства}\) содержат дроби, в знаменателях которых может находиться переменная. Главное правило: знаменатель не может быть равен нулю.

Например, в выражении

\[\frac{x-3}{x+2}\]

значение \(x=-2\) недопустимо.

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\[\frac{P(x)}{Q(x)}=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} P(x)=0,\\ Q(x)\ne0. \end{cases}\]

Например:

\[\frac{x-3}{x+2}=0.\]

Числитель равен нулю при \(x=3\). Знаменатель при этом не равен нулю, поэтому \(x=3\) — корень.

Рациональные неравенства обычно решают \(\textbf{методом интервалов}\): находят нули числителя и знаменателя, отмечают их на числовой прямой и определяют знак дроби на каждом промежутке.

Решение рациональных уравнений и неравенств

Область допустимых значений

\(\textbf{Область допустимых значений}\), или ОДЗ, — это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Для рациональных выражений необходимо потребовать, чтобы каждый знаменатель был не равен нулю.

Например, для уравнения

\[\frac{2}{x-1}=\frac{x}{x+3}\]

ОДЗ имеет вид

\[x\ne1, \qquad x\ne-3.\]

Значения, не входящие в ОДЗ, не могут быть корнями уравнения.

Рациональные уравнения

При решении уравнений с дробями обычно используют следующий порядок:

1. Найти ОДЗ.
2. Привести дроби к общему знаменателю.
3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
4. Решить полученное уравнение.
5. Исключить значения, не входящие в ОДЗ.

Например, решим уравнение

\[\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x}.\]

ОДЗ:

\[x\ne2, \qquad x\ne0.\]

Общий знаменатель равен \(x(x-2)\). Умножим обе части уравнения на него:

\[x=3(x-2).\]

Раскроем скобки:

\[x=3x-6,\]\[2x=6,\]\[x=3.\]

Число \(3\) входит в ОДЗ, поэтому является корнем.

Если уравнение приведено к виду

\[\frac{P(x)}{Q(x)}=0,\]

нужно решить уравнение \(P(x)=0\), а затем проверить условие \(Q(x)\ne0\).

Например:

\[\frac{x^2-4}{x-2}=0.\]

Числитель раскладывается на множители:

\[x^2-4=(x-2)(x+2).\]

Из равенства числителя нулю получаем \(x=2\) и \(x=-2\). Но \(x=2\) обращает знаменатель в нуль, поэтому остаётся только

\[x=-2.\]

Сокращать дробь на \(x-2\) можно только после указания ограничения \(x\ne2\).

Рациональные неравенства

Рациональное неравенство приводят к одному из видов

\[\frac{P(x)}{Q(x)}>0, \qquad \frac{P(x)}{Q(x)}<0,\]\[\frac{P(x)}{Q(x)}\ge0, \qquad \frac{P(x)}{Q(x)}\le0.\]

Для решения применяют \(\textbf{метод интервалов}\).

Сначала находят критические точки:

- нули числителя \(P(x)=0\);
- нули знаменателя \(Q(x)=0\).

Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки. На каждом промежутке знак выражения остаётся постоянным.

Решим неравенство

\[\frac{x-2}{x+1}>0.\]

Найдём корни:

\[x-2=0 \quad \Rightarrow \quad x=2,\]\[x+1=0 \quad \Rightarrow \quad x=-1.\]

Получаем промежутки

\[(-\infty;-1), \qquad (-1;2), \qquad (2;+\infty).\]

Определим знак дроби на каждом промежутке:

- на \((-\infty;-1)\) дробь положительна;
- на \((-1;2)\) дробь отрицательна;
- на \((2;+\infty)\) дробь положительна.

По условию требуется положительное значение, поэтому

\[x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty).\]

Точка \(-1\) не входит в ответ, так как обращает знаменатель в нуль. Точка \(2\) не входит, поскольку неравенство строгое.

Строгие и нестрогие неравенства

При знаках \(>\) и \(<\) нули числителя в ответ не включают.

При знаках \(\ge\) и \(\le\) нули числителя включают, если знаменатель при этих значениях не равен нулю.

Нули знаменателя не входят в ответ никогда.

Например:

\[\frac{x-4}{x+2}\le0.\]

Корни: \(-2\) и \(4\). Дробь неположительна на промежутке

\[x\in(-2;4].\]

Точка \(-2\) исключается, поскольку знаменатель равен нулю. Точка \(4\) включается, так как выражение равно нулю.

Приведение к одной дроби

Перед применением метода интервалов все выражения нужно перенести в одну часть и привести к общему знаменателю.

Например:

\[\frac{1}{x}-1>0.\]

Приведём выражение к одной дроби:

\[\frac{1}{x}-\frac{x}{x}>0,\]\[\frac{1-x}{x}>0.\]

После этого можно находить критические точки и применять метод интервалов.

Главное

Рациональные уравнения и неравенства могут содержать переменную в знаменателе. Значения, обращающие знаменатель в нуль, всегда исключаются. Рациональное уравнение обычно освобождают от знаменателей, а найденные корни проверяют по ОДЗ. Рациональное неравенство приводят к одной дроби и решают методом интервалов. Нули числителя могут входить в ответ только при нестрогом знаке. Нули знаменателя не входят в ответ ни при каких условиях.