184Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшими называют уравнения вида \(\sin x=a\), \(\cos x=a\), \(\tg x=a\) и \(\ctg x=a\). Их решения записывают с учётом периодичности тригонометрических функций.
Число \(k\in\mathbb Z\) в ответе показывает, что к найденному углу можно прибавить или вычесть любое целое количество периодов.
Например, углы \(x\) и \(x+2\pi k\) соответствуют одной точке тригонометрической окружности.
Уравнение \(\sin x=a\)
Синус принимает значения только от \(-1\) до \(1\). Поэтому уравнение
\[\sin x=a\]
имеет решения только при условии
\[|a|\leqslant1.\]
На тригонометрической окружности синус — это ордината точки. Горизонтальная прямая \(y=a\) обычно пересекает окружность в двух точках, поэтому за один полный оборот чаще всего получаются два решения.
Общая формула имеет вид
\[x=(-1)^k\arcsin a+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Ту же формулу можно записать двумя сериями:
\[x=\arcsin a+2\pi k,\qquad x=\pi-\arcsin a+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Например, решим уравнение
\[\sin x=\frac12.\]
Основной угол равен
\[\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}.\]
Поэтому
\[x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\]
или
\[x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Уравнение \(\cos x=a\)
Косинус также принимает значения только из промежутка \([-1;1]\). Поэтому уравнение
\[\cos x=a\]
имеет решения только при
\[|a|\leqslant1.\]
На тригонометрической окружности косинус — это абсцисса точки. Вертикальная прямая \(x=a\) обычно пересекает окружность в двух точках.
Общая формула:
\[x=\pm\arccos a+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Например,
\[\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}.\]
Так как
\[\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{3\pi}{4},\]
получаем
\[x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Уравнение \(\tg x=a\)
Тангенс может принимать любое действительное значение, поэтому уравнение
\[\tg x=a\]
имеет решения при любом \(a\in\mathbb R\).
Период тангенса равен \(\pi\), поэтому общая формула имеет вид
\[x=\operatorname{arctg}a+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Например,
\[\tg x=\sqrt3.\]
Так как
\[\operatorname{arctg}\sqrt3=\frac{\pi}{3},\]
получаем
\[x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Уравнение \(\ctg x=a\)
Котангенс также принимает любое действительное значение. Общая формула решения:
\[x=\operatorname{arcctg}a+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]
При этом значение \(\operatorname{arcctg}a\) обычно выбирают из промежутка
\[(0;\pi).\]
Например,
\[\ctg x=-1.\]
На промежутке \((0;\pi)\) котангенс равен \(-1\) при
\[x=\frac{3\pi}{4}.\]
Следовательно,
\[x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Особые случаи
Некоторые уравнения удобно решать без обратных тригонометрических функций.
Для синуса:
\[\sin x=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\pi k,\qquad k\in\mathbb Z,\]
\[\sin x=1\quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z,\]
\[\sin x=-1\quad\Longleftrightarrow\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Для косинуса:
\[\cos x=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z,\]
\[\cos x=1\quad\Longleftrightarrow\quad x=2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z,\]
\[\cos x=-1\quad\Longleftrightarrow\quad x=\pi+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Для тангенса и котангенса:
\[\tg x=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\pi k,\qquad k\in\mathbb Z,\]
\[\ctg x=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Что важно проверять
Если в уравнении стоит синус или косинус, сначала нужно проверить число \(a\).
Например, уравнения
\[\sin x=2\]
и
\[\cos x=-3\]
не имеют решений, потому что синус и косинус не могут быть больше \(1\) или меньше \(-1\).
Для тангенса и котангенса такого ограничения на число \(a\) нет.
После нахождения общего решения корни иногда требуется выбрать из заданного промежутка. Такой отбор выполняется отдельно после записи общей формулы.
Главное
— Уравнение \(\sin x=a\) имеет решения только при \(|a|\leqslant1\).
— Формула для синуса: \(x=(-1)^k\arcsin a+\pi k\).
— Уравнение \(\cos x=a\) имеет решения только при \(|a|\leqslant1\).
— Формула для косинуса: \(x=\pm\arccos a+2\pi k\).
— Формула для тангенса: \(x=\operatorname{arctg}a+\pi k\).
— Формула для котангенса: \(x=\operatorname{arcctg}a+\pi k\).
— В общей записи всегда указывается \(k\in\mathbb Z\).