Простейшие графики функций: прямая, парабола, гипербола, модуль

Прямая, парабола, гипербола и график функции с модулем — основные графики школьной математики. По их формулам можно определить форму графика, его положение на координатной плоскости и ключевые точки. Эти знания используются при решении уравнений и неравенств, исследовании функций и чтении графиков.

Основные функции имеют вид:

\[y=kx+b,\qquad y=ax^2+bx+c,\qquad y=\frac{k}{x},\qquad y=|x|.\]

Изменение коэффициентов сдвигает, растягивает, сжимает или отражает исходный график. Поэтому при построении сначала определяют вид функции, а затем находят её основные параметры.

Прямая

Графиком \(\textbf{линейной функции}\) \(y=kx+b\) является прямая.

Коэффициент \(k\) называется \(\textbf{угловым коэффициентом}\). Он определяет направление прямой:

— если \(k>0\), функция возрастает;
— если \(k<0\), функция убывает;
— если \(k=0\), получается горизонтальная прямая \(y=b\).

Число \(b\) показывает, в какой точке график пересекает ось \(Oy\). При \(x=0\) получаем \(y=b\), поэтому точка пересечения имеет координаты \((0;b)\).

Для построения прямой достаточно найти две её точки. Например, для функции \(y=2x-3\):

\[x=0 \Rightarrow y=-3,\qquad x=2 \Rightarrow y=1.\]

График проходит через точки \((0;-3)\) и \((2;1)\).

Если \(b=0\), функция имеет вид \(y=kx\), а её график проходит через начало координат.

Вертикальная прямая \(x=a\) не является графиком функции \(y=f(x)\), поскольку одному значению \(x\) соответствует несколько значений \(y\).

Парабола

Графиком \(\textbf{квадратичной функции}\) \(y=ax^2+bx+c, \text{где } a\ne0,\) является парабола.

Направление её ветвей зависит от коэффициента \(a\):

— если \(a>0\), ветви направлены вверх;
— если \(a<0\), ветви направлены вниз.

Чем больше \(|a|\), тем более узкая парабола. Чем ближе \(|a|\) к нулю, тем она шире.

Ось симметрии параболы проходит через её вершину. Абсцисса вершины вычисляется по формуле

\[x_0=-\frac{b}{2a},\]

а ордината равна

\[y_0=f(x_0).\]

Вершина имеет координаты \((x_0;y_0)\), а ось симметрии задаётся уравнением \(x=x_0\).

Форму параболы удобно записывать так:

\[y=a(x-x_0)^2+y_0.\]

Из этой записи сразу видны координаты вершины. Например, график функции

\[y=(x-2)^2-3\]

получается из параболы \(y=x^2\) сдвигом на \(2\) единицы вправо и на \(3\) единицы вниз. Его вершина находится в точке \((2;-3)\).

Для более точного построения можно дополнительно найти точки пересечения с осями координат.

Гипербола

Графиком функции

\[y=\frac{k}{x},\qquad k\ne0,\]

является \(\textbf{гипербола}\). Она состоит из двух отдельных ветвей.

При \(k>0\) ветви расположены в первой и третьей координатных четвертях. При \(k<0\) — во второй и четвёртой.

Для этой функции

\[x\ne0,\qquad y\ne0.\]

График не пересекает оси координат, но неограниченно к ним приближается. Оси \(Ox\) и \(Oy\) являются \(\textbf{асимптотами}\) гиперболы.

Чем больше \(|k|\), тем дальше ветви графика расположены от начала координат.

График функции

\[y=\frac{k}{x-x_0}+y_0\]

получается сдвигом гиперболы \(y=\frac{k}{x}\). Его асимптоты имеют уравнения

\[x=x_0,\qquad y=y_0.\]

Например, у функции \(y=\frac{2}{x-3}+1\) вертикальная асимптота имеет вид \(x=3\), а горизонтальная — \(y=1\).

График функции с модулем

Простейшая функция с модулем имеет вид

\[y=|x|.\]

По определению модуля

\[|x|= \begin{cases} x, & x\ge0,\\ -x, & x<0. \end{cases}\]

Поэтому при \(x\ge0\) график совпадает с прямой \(y=x\), а при \(x<0\) — с прямой \(y=-x\). Получается график в форме буквы \(V\) с вершиной в начале координат.

Более общий вид функции:

\[y=a|x-x_0|+y_0.\]

Её вершина находится в точке \((x_0;y_0)\). Если \(a>0\), ветви направлены вверх, а если \(a<0\) — вниз. Коэффициент \(|a|\) определяет угол раскрытия графика.

Например, функция

\[y=-2|x+1|+3\]

имеет вершину \((-1;3)\), а её ветви направлены вниз.

Если модуль применяется ко всей функции, график \(y=|f(x)|\) строится иначе: часть графика \(y=f(x)\), находящаяся ниже оси \(Ox\), отражается относительно этой оси. Точки выше оси \(Ox\) остаются без изменения.

[ВСТАВИТЬ РИСУНОК 4. ГРАФИК ФУНКЦИИ С МОДУЛЕМ]

Основные преобразования графиков

Если известен график \(y=f(x)\), то:

—  \(y=f(x)+m\) — сдвиг на \(m\) единиц вверх при \(m>0\);
—  \(y=f(x)-m\) — сдвиг на \(m\) единиц вниз;
—  \(y=f(x-a)\) — сдвиг на \(a\) единиц вправо;
—  \(y=f(x+a)\) — сдвиг на \(a\) единиц влево;
—  \(y=-f(x)\) — отражение относительно оси \(Ox\);
—  \(y=f(-x)\) — отражение относительно оси \(Oy\);
—  \(y=af(x)\) — растяжение или сжатие графика вдоль оси \(Oy\).

При горизонтальном сдвиге знак внутри скобок воспринимается противоположно: выражение \(x-3\) сдвигает график вправо, а \(x+3\) — влево.

Главное

— График функции \(y=kx+b\) — прямая, которую можно построить по двум точкам.
— Коэффициент \(k\) определяет направление прямой, а \(b\) — точку пересечения с осью \(Oy\).
— График квадратичной функции — парабола с вершиной \((x_0;y_0)\) и осью симметрии \(x=x_0\).
— Знак коэффициента \(a\) определяет направление ветвей параболы и графика с модулем.
— График \(y=\frac{k}{x}\) состоит из двух ветвей и не пересекает координатные оси.
— График \(y=|x|\) имеет вершину \((0;0)\) и состоит из частей прямых \(y=x\) и \(y=-x\).
— При построении преобразованного графика сначала находят его ключевую точку или асимптоты, а затем учитывают сдвиги и отражения.