Простая вероятность: основные определения и формулы

Вероятность показывает, насколько возможно наступление некоторого события. В простых задачах ЕГЭ обычно рассматриваются ситуации, где все исходы равновозможны и можно посчитать общее число исходов и число подходящих.

Вероятность события \(A\) обозначают так:

\[P(A).\]

Если событие невозможно, его вероятность равна

\[P(A)=0.\]

Если событие обязательно произойдёт, то

\[P(A)=1.\]

Поэтому для любого события выполняется

\[0\le P(A)\le1.\]

Случайный опыт и исход

Случайным опытом называют действие, результат которого заранее точно неизвестен.

Например, бросают игральную кость. До броска нельзя точно знать, какое число выпадет.

Каждый возможный результат опыта называют исходом.

Для обычной шестигранной кости возможны исходы:

\(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\).

Событие — это один исход или несколько исходов, объединённых общим условием.

Например, событие \(A\): «выпало чётное число».

Ему соответствуют исходы

\(2,\ 4,\ 6\).

Классическая формула вероятности

Если все возможные исходы равновозможны, вероятность события можно найти по формуле

\[P(A)=\frac{m}{n},\]

где \(n\) — общее число равновозможных исходов, а \(m\) — число исходов, при которых событие \(A\) происходит.

Например, бросают обычную игральную кость. Найдём вероятность выпадения числа больше 4.

Всего возможных исходов:

\[n=6.\]

Подходят два исхода:

\(5\) и \(6\).

Значит,

\[P(A)=\frac26=\frac13.\]

Благоприятные исходы

Благоприятными называют те исходы, при которых интересующее событие происходит.

Например, из чисел от 1 до 10 случайно выбирают одно число. Найдём вероятность того, что оно будет кратно 3.

Всего чисел:

\[n=10.\]

Кратные 3:

\(3,\ 6,\ 9\).

Значит,

\[m=3.\]

Вероятность:

\[P(A)=\frac3{10}.\]

Перед вычислением важно точно определить, какие исходы считаются благоприятными.

Противоположное событие

Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие не произошло.

Событие, противоположное событию \(A\), можно обозначить через \(\overline A\).

Их вероятности связаны формулой

\[P(\overline A)=1-P(A).\]

Например, вероятность того, что стрелок попадёт в мишень, равна \(0{,}8\).

Тогда вероятность того, что он не попадёт:

\[1-0{,}8=0{,}2.\]

Эта формула особенно удобна, когда проще найти вероятность противоположного события.

Вероятность суммы несовместных событий

Два события называют несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном испытании.

Например, при одном броске кубика невозможно одновременно получить и \(2\), и \(5\).

Если события \(A\) и \(B\) несовместны, то вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из них, равна

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B).\]

Например, найдём вероятность того, что при броске кубика выпадет \(1\) или \(6\).

Вероятность выпадения \(1\):

\[\frac16.\]

Вероятность выпадения \(6\):

\[\frac16.\]

Эти события несовместны, поэтому

\[P=\frac16+\frac16=\frac13.\]

Независимые испытания

Если результат одного испытания не влияет на результат другого, такие испытания называют независимыми.

Например, два последовательных броска монеты являются независимыми.

Если нужно, чтобы одновременно произошло несколько независимых событий, их вероятности перемножаются.

Для двух независимых событий:

\[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).\]

Например, монету бросают два раза. Найдём вероятность того, что оба раза выпадет орёл.

Вероятность орла при одном броске:

\[\frac12.\]

Следовательно,

\[P=\frac12\cdot\frac12=\frac14.\]

Вероятность хотя бы одного успеха

Формулировка «хотя бы один» означает один или больше.

В таких задачах часто проще использовать противоположное событие.

Например, монету бросают три раза. Найдём вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Противоположное событие — орёл не выпадет ни разу, то есть все три раза выпадет решка.

Вероятность этого события:

\[\left(\frac12\right)^3=\frac18.\]

Значит,

\[P=1-\frac18=\frac78.\]

Такой способ обычно короче, чем отдельно считать случаи с одним, двумя и тремя успехами.

Как решать простую задачу на вероятность

Удобно действовать по следующему плану.

— Определить случайный опыт.

— Посчитать общее число равновозможных исходов \(n\).

— Определить благоприятные исходы и найти их количество \(m\).

— Использовать формулу \(P(A)=\frac{m}{n}\).

— Если требуется вероятность нескольких независимых событий одновременно, перемножить их вероятности.

— Если требуется вероятность хотя бы одного события, проверить, не проще ли использовать противоположное событие.

Важно убедиться, что рассматриваемые исходы действительно равновозможны. Классическую формулу \(P(A)=\frac{m}{n}\) нельзя механически применять в любой ситуации.

Главное

— Вероятность любого события находится в пределах от \(0\) до \(1\).

— Для равновозможных исходов используется формула \(P(A)=\frac{m}{n}\).

— \(n\) — количество всех равновозможных исходов, \(m\) — количество благоприятных исходов.

— Для противоположного события выполняется \(P(\overline A)=1-P(A)\).

— Вероятности несовместных событий при выборе «одно или другое» складываются.

— Вероятности независимых событий при одновременном наступлении перемножаются.

— В задачах на «хотя бы одно» часто удобнее сначала найти вероятность противоположного события.