Производная сложной функции

\(\textbf{Сложная функция}\) — это функция, внутри которой находится другая функция.

Например:

\[(3x+1)^5,\qquad \sin(2x),\qquad \sqrt{x^2+4}.\]

В выражении \((3x+1)^5\):

— внешняя функция — пятая степень;
— внутренняя функция — \(3x+1\).

Главное правило

Чтобы найти производную сложной функции, нужно:

1. найти производную внешней функции, не изменяя выражение внутри;
2. умножить результат на производную внутренней функции.

Коротко:

\[(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x).\]

Проще запомнить так:

\[\text{производная внешней}\cdot\text{производная внутренней}.\]

Степень сложной функции

\[(u^n)'=nu^{n-1}\cdot u',\]

где \(u\) — выражение, зависящее от \(x\).

Например:

\[\bigl((3x+1)^5\bigr)' = 5(3x+1)^4\cdot3 = 15(3x+1)^4.\]

Сначала нашли производную пятой степени, затем умножили на производную \(3x+1\).

Основные формулы

\[(\sin u)'=\cos u\cdot u',\]\[(\cos u)'=-\sin u\cdot u',\]\[(e^u)'=e^u\cdot u',\]\[(\ln u)'=\frac{u'}{u},\]\[(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}.\]

Примеры

\[(\sin 2x)'=\cos 2x\cdot2=2\cos 2x.\]\[(e^{x^2})'=e^{x^2}\cdot2x=2xe^{x^2}.\]\[(\ln(4x-1))' = \frac{4}{4x-1}.\]\[\left(\sqrt{5x+2}\right)' = \frac{5}{2\sqrt{5x+2}}.\]

Главное

— Сначала берём производную внешней функции.
— Выражение внутри пока оставляем без изменений.
— Затем умножаем на производную внутреннего выражения.
— В сложной функции дополнительный множитель \(u'\) забывать нельзя.