Производная: определение, геометрический и физический смысл

Производная — это число, которое показывает, как быстро меняется функция в точке.

Для ЕГЭ важны три простые идеи:

— производная показывает, возрастает функция или убывает;
— производная связана с касательной к графику;
— в задачах на движение производная координаты — это скорость.

Если производная положительна, график идёт вверх. Если отрицательна — вниз. Если равна нулю, касательная горизонтальна.

Что такое производная

Производная функции в точке — это число, которое показывает, насколько быстро меняется функция именно в этой точке.

Обозначают производную так:

Если нужно значение производной в точке \(x_0\), пишут

На практике производную можно понимать очень просто:

— большое положительное значение — график резко идёт вверх;
— большое отрицательное значение — график резко идёт вниз;
— ноль — график в этой точке не поднимается и не опускается.

Геометрический смысл

Геометрически производная связана с касательной к графику.

Если к графику функции провести касательную в точке с абсциссой \(x_0\), то производная \(f'(x_0)\) показывает наклон этой касательной.

То есть:

— \(f'(x_0)>0\) — касательная поднимается;
— \(f'(x_0)<0\) — касательная опускается;
— \(f'(x_0)=0\) — касательная горизонтальна.

Если угол наклона касательной равен \(\alpha\), то \(f'(x_0)=\tg\alpha.\)

Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу:

В прямоугольном треугольнике это отношение противолежащего катета к прилежащему:

Поэтому производная показывает отношение изменения \(y\) к изменению \(x\), то есть наклон касательной. Противолежащий катет к гипотенузе — это \(\sin\alpha\), а не \(\tg\alpha\).

Как по производной понять поведение функции

Производная помогает понять, что делает функция на промежутке.

— Если \(f'(x)>0\), то функция возрастает.
— Если \(f'(x)<0\), то функция убывает.
— Если \(f'(x)=0\), то в этой точке нужно смотреть дальше: это может быть максимум, минимум или просто горизонтальная касательная.

На ЕГЭ это очень важно: по знаку производной находят промежутки возрастания и убывания, а также точки максимума и минимума.

Физический смысл

Если \(s(t)\) — координата тела, то производная этой функции равна скорости: \(v(t)=s'(t).\)

Это значит:

— координата показывает, где находится тело;
— производная координаты показывает, как быстро оно движется.

Если скорость положительна, тело движется в положительном направлении. Если отрицательна — в отрицательном.

Когда производной нет

Производная существует не всегда.

Например, у функции \(y=|x|\) в точке \(x=0\) график имеет острый угол. В такой точке нельзя провести одну общую касательную, поэтому производной нет.

На ЕГЭ это полезно помнить: в точке излома производной обычно нет.

Главное

— Производная — это скорость изменения функции.
— \(f'(x_0)\) показывает наклон графика в точке \(x_0\).
— Если производная положительна, функция возрастает.
— Если производная отрицательна, функция убывает.
— Если производная равна нулю, касательная горизонтальна.
— Если \(s(t)\) — координата, то \(s'(t)\) — скорость.
— В точке излома производной может не быть.