136Производная и монотонность функции
Производная помогает определить, где функция возрастает, а где убывает. Для этого не нужно строить точный график: достаточно найти производную и определить её знак на разных промежутках.
Главное правило имеет вид:
— если \(f'(x)>0\) на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке;
— если \(f'(x)<0\) на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.
Проще говоря, положительная производная означает движение графика вверх слева направо, а отрицательная — движение вниз.
Как знак производной связан с графиком
Рассмотрим функцию \(y=f(x)\).
Если при увеличении \(x\) значения функции становятся больше, функция возрастает. Наклон касательной в этом случае положительный, поэтому
\[f'(x)>0.\]
Если при увеличении \(x\) значения функции становятся меньше, функция убывает. Наклон касательной в этом случае отрицательный, поэтому
\[f'(x)<0.\]
Если в некоторой точке
\[f'(x_0)=0,\]
касательная к графику в этой точке параллельна оси \(Ox\). Такая точка может разделять промежутки возрастания и убывания, но равенство производной нулю само по себе ещё не доказывает наличие максимума или минимума.
Как найти промежутки возрастания и убывания
Для исследования функции нужно выполнить несколько действий:
— найти область определения функции;
— вычислить производную \(f'(x)\);
— найти точки, в которых \(f'(x)=0\) или производная не существует;
— отметить эти точки на числовой прямой;
— определить знак производной на каждом полученном промежутке;
— записать промежутки возрастания и убывания.
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, разбивают область определения на промежутки. На каждом таком промежутке знак производной обычно определяют подстановкой любой удобной точки.
Пример
Исследуем монотонность функции
\[f(x)=x^3-3x.\]
Область определения — все действительные числа.
Найдём производную:
\[f'(x)=3x^2-3.\]
Разложим выражение на множители:
\[f'(x)=3(x-1)(x+1).\]
Найдём нули производной:
\[3(x-1)(x+1)=0.\]
Отсюда
\[x=-1,\qquad x=1.\]
Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка:
\[(-\infty;-1),\qquad (-1;1),\qquad (1;+\infty).\]
Определим знак производной.
При \(x<-1\) оба множителя \(x-1\) и \(x+1\) отрицательны, поэтому их произведение положительно:
\[f'(x)>0.\]
При \(-1<x<1\) множители имеют разные знаки, поэтому
\[f'(x)<0.\]
При \(x>1\) оба множителя положительны, поэтому
\[f'(x)>0.\]
Следовательно, функция возрастает на промежутках
\[(-\infty;-1]\quad\text{и}\quad[1;+\infty),\]
а убывает на промежутке
\[[-1;1].\]
В точке \(x=-1\) знак производной меняется с плюса на минус, поэтому график сначала возрастает, а затем убывает. В точке \(x=1\) знак меняется с минуса на плюс, поэтому график сначала убывает, а затем возрастает.
Если производная равна нулю в отдельной точке
Равенство \(f'(x_0)=0\) не означает, что функция обязательно перестаёт возрастать или убывать.
Например, для функции
\[f(x)=x^3\]
производная равна
\[f'(x)=3x^2.\]
В точке \(x=0\) производная равна нулю, но функция \(x^3\) продолжает возрастать на всей числовой прямой. Поэтому важно смотреть не только на нули производной, но и на изменение её знака.
Главное
— Если \(f'(x)>0\), функция возрастает.
— Если \(f'(x)<0\), функция убывает.
— Нули производной разбивают область определения на промежутки для исследования знака.
— Знак производной нужно определять отдельно на каждом промежутке.
— Равенство \(f'(x_0)=0\) само по себе не означает, что функция меняет характер монотонности.
— Для изменения возрастания на убывание или убывания на возрастание важно изменение знака производной.