Проценты, отношения и пропорции

Проценты, отношения и пропорции помогают сравнивать величины и находить части от целого. В ЕГЭ они встречаются в текстовых задачах, финансовых расчётах, задачах на смеси, сплавы, движение и работу. Главное — правильно определить, какая величина считается целым и как связаны данные числа.

Проценты

\(\textbf{Процент}\) — это одна сотая часть числа:

\[1\%=\frac{1}{100}=0{,}01.\]

Например,

\[25\%=\frac{25}{100}=0{,}25.\]

Чтобы найти \(p\%\) от числа \(a\), нужно умножить \(a\) на \(\frac{p}{100}\):

\[p\% \text{ от } a = a\cdot \frac{p}{100}.\]

Например, \(20\%\) от \(150\) равны

\[150\cdot 0{,}2=30.\]

Если известно, что число \(b\) составляет \(p\%\) от числа \(a\), то можно записать:

\[b=a\cdot \frac{p}{100}.\]

Например, если \(18\) составляет \(30\%\) от числа \(a\), то

\[18=0{,}3a,\]

откуда \(a=60\).

Увеличение и уменьшение на проценты

Если число \(a\) увеличили на \(p\%\), новое значение равно

\[a\left(1+\frac{p}{100}\right).\]

Если число \(a\) уменьшили на \(p\%\), новое значение равно

\[a\left(1-\frac{p}{100}\right).\]

Например, число \(400\) увеличили на \(15\%\):

\[400\cdot 1{,}15=460.\]

Число \(400\) уменьшили на \(15\%\):

\[400\cdot 0{,}85=340.\]

Числа \(1{,}15\) и \(0{,}85\) в этих примерах называются \(\textbf{коэффициентами изменения}\). Если изменений несколько, коэффициенты перемножаются.

Например, цену сначала увеличили на \(20\%\), а потом уменьшили на \(10\%\). Тогда общий коэффициент равен

\[1{,}2\cdot 0{,}9=1{,}08.\]

Значит, итоговая цена стала больше первоначальной на \(8\%\).

Процентное отношение

Чтобы узнать, сколько процентов число \(a\) составляет от числа \(b\), нужно вычислить:

\[\frac{a}{b}\cdot 100\%.\]

Например, \(12\) от \(48\) составляет

\[\frac{12}{48}\cdot 100\%=25\%.\]

В задачах важно понимать, от какого числа берётся процент. Если цена была \(80\), а стала \(100\), то увеличение равно \(20\), но процент считается от старой цены:

\[\frac{20}{80}\cdot 100\%=25\%.\]

Если цена была \(100\), а стала \(80\), то уменьшение тоже равно \(20\), но процент считается уже от \(100\):

\[\frac{20}{100}\cdot 100\%=20\%.\]

Отношение

\(\textbf{Отношение}\) двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого.

Отношение чисел \(a\) и \(b\), где \(b\ne 0\), записывают так:

\[a:b\]

или\[<br>\frac{a}{b}.<br>\]

Например,

\[12:4=3.\]

Это означает, что число \(12\) в \(3\) раза больше числа \(4\).

Отношение можно сокращать как дробь:

\[18:24=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}.\]

Значит, отношение \(18:24\) можно записать как \(3:4\).

Если величину нужно разделить в отношении \(2:5\), то всего частей \(2+5=7\). Например, число \(140\) делим в отношении \(2:5\). Одна часть равна

\[140:7=20.\]

Тогда части равны \(2\cdot 20=40\) и \(5\cdot 20=100\).

Пропорция

\(\textbf{Пропорция}\) — это равенство двух отношений:

\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d},\]

где \(b\ne 0\), \(d\ne 0\).

Главное свойство пропорции:

\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \quad \Longleftrightarrow \quad ad=bc.\]

Например,

\[\frac{x}{6}=\frac{5}{3}.\]

По свойству пропорции:

\[3x=6\cdot 5,\]\[x=10.\]

Пропорции удобно использовать, когда две величины связаны прямо пропорционально. Например, если \(4\) одинаковые тетради стоят \(120\) рублей, то \(7\) таких тетрадей стоят \(x\) рублей:

\[\frac{4}{7}=\frac{120}{x}.\]

Тогда

\[4x=7\cdot 120,\]\[x=210.\]

Прямая и обратная пропорциональность

Две величины \(\textbf{прямо пропорциональны}\), если при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Например, стоимость одинаковых товаров прямо пропорциональна их количеству.

Две величины \(\textbf{обратно пропорциональны}\), если при увеличении одной величины в несколько раз другая уменьшается во столько же раз. Например, время выполнения одной работы обратно пропорционально количеству одинаково работающих рабочих.

Если \(2\) рабочих выполняют работу за \(12\) часов, то \(4\) рабочих выполнят её за \(6\) часов.

Главное

Процент — это сотая часть числа: \(1\%=0{,}01\). Чтобы найти \(p\%\) от числа \(a\), нужно умножить \(a\) на \(\frac{p}{100}\). Увеличение на \(p\%\) задаётся коэффициентом \(1+\frac{p}{100}\), а уменьшение — коэффициентом \(1-\frac{p}{100}\). Отношение показывает связь двух величин и может записываться как дробь. Пропорция — это равенство двух отношений, для неё выполняется свойство \(ad=bc\). В задачах нужно внимательно определять, что принято за целое и какие величины соответствуют друг другу.