125Преобразования графиков: сдвиги, растяжения, отражения
Оглавление
График новой функции часто можно получить из уже известного графика \(y=f(x)\) без таблицы значений. Для этого его сдвигают, растягивают, сжимают или отражают относительно координатных осей.
Главное различие:
— изменения \(\textbf{снаружи}\) функции преобразуют ординаты \(y\);
— изменения \(\textbf{внутри аргумента}\) преобразуют абсциссы \(x\).
Общий вид нескольких преобразований:
\[y=A f\bigl(B(x-h)\bigr)+m, \qquad A\ne0,\quad B\ne0.\]Вертикальный сдвиг
График функции \(y=f(x)+m\) получается из графика \(y=f(x)\) сдвигом вдоль оси \(Oy\):
— при \(m>0\) — вверх на \(m\);
— при \(m<0\) — вниз на \(|m|\).
Абсцисса каждой точки сохраняется, а ордината изменяется:
\[(x;y)\longrightarrow(x;y+m).\]Например, график \(y=x^2+2\) получается из параболы \(y=x^2\) сдвигом вверх на \(2\). График \(y=x^2-2\) сдвинут вниз на \(2\).
На рисунке показано, что все точки графика перемещаются на одинаковое расстояние по вертикали.
Горизонтальный сдвиг
График функции \(y=f(x-h)\) получается сдвигом графика \(y=f(x)\) вправо на \(h\), если \(h>0\).
График функции \(y=f(x+h)\) сдвинут влево на \(h\).
Знак внутри аргумента воспринимается противоположно направлению сдвига:
\[f(x-3)\; \text{— вправо на }3,\]\[f(x+3)\; \text{— влево на }3.\]При преобразовании \(y=f(x-h)\) точки перемещаются по правилу
\[(x;y)\longrightarrow(x+h;y).\]Например, вершина параболы \(y=(x-2)^2\) находится в точке \((2;0)\), а вершина параболы \(y=(x+2)^2\) — в точке \((-2;0)\).
На рисунке исходный график показан вместе с его сдвигами вправо и влево.
Растяжение вдоль оси \(Oy\)
В функции \(y=A f(x)\) все ординаты исходного графика умножаются на \(A\):
\[(x;y)\longrightarrow(x;Ay).\]Если \(|A|>1\), график растягивается от оси \(Ox\) в \(|A|\) раз.
Например, при переходе от \(y=f(x)\) к \(y=2f(x)\) каждая ордината увеличивается в \(2\) раза. Абсциссы точек при этом не меняются.
Точки, лежащие на оси \(Ox\), остаются на месте, поскольку \(2\cdot0=0\).
Сжатие вдоль оси \(Oy\)
Если \(0<|A|<1,\) график \(y=A f(x)\) сжимается к оси \(Ox\).
Например, в функции \(y=\frac{1}{2}f(x)\) каждая ордината уменьшается в \(2\) раза:
\[(x;y)\longrightarrow\left(x;\frac{y}{2}\right).\]Чем ближе \(|A|\) к нулю, тем сильнее график прижимается к оси \(Ox\).
Сжатие вдоль оси \(Ox\)
В функции \(y=f(Bx)\) изменяются абсциссы точек. Каждая абсцисса делится на \(B\):
\[(x;y)\longrightarrow\left(\frac{x}{B};y\right).\]Если \(|B|>1\), график сжимается к оси \(Oy\) в \(|B|\) раз.
Например, график
\[y=f(2x)\]сжат вдоль оси \(Ox\) в \(2\) раза. Точка с абсциссой \(x=2\) переходит в точку с абсциссой \(x=1\).
Коэффициент внутри аргумента действует обратно: умножение аргумента на \(2\) уменьшает абсциссы в \(2\) раза.
Растяжение вдоль оси \(Ox\)
Если \(0<|B|<1,\)график \(y=f(Bx)\) растягивается от оси \(Oy\).
Например, \(y=f\left(\frac{x}{2}\right)\) задаёт растяжение вдоль оси \(Ox\) в \(2\) раза:
\[(x;y)\longrightarrow(2x;y).\]Точка с абсциссой \(x=2\) переходит в точку с абсциссой \(x=4\).
В общем случае график \(y=f(Bx)\) изменяется вдоль оси \(Ox\) в \(\frac{1}{|B|}\) раза.
Отражение относительно оси \(Ox\)
График функции \(y=-f(x)\) получается отражением графика \(y=f(x)\) относительно оси \(Ox\).
Абсциссы точек не меняются, а ординаты меняют знак:
\[(x;y)\longrightarrow(x;-y).\]Часть графика, расположенная выше оси \(Ox\), переходит вниз. Часть, расположенная ниже оси, переходит вверх.
Например, график \(y=-x^2\) получается отражением параболы \(y=x^2\) относительно оси \(Ox\).
Отражение относительно оси \(Oy\)
График функции \(y=f(-x)\) получается отражением графика \(y=f(x)\) относительно оси \(Oy\).
Ординаты точек сохраняются, а абсциссы меняют знак:
\[(x;y)\longrightarrow(-x;y).\]Например, точка \((3;2)\) переходит в точку \((-3;2)\).
Если исходная функция чётная, то отражение относительно оси \(Oy\) не изменяет её график, поскольку \(f(-x)=f(x)\).
Преобразование \(y=|f(x)|\)
В выражении \(y=|f(x)|\) модуль применяется к значениям функции.
Часть графика \(y=f(x)\), расположенная выше оси \(Ox\), остаётся без изменений. Часть, расположенная ниже оси \(Ox\), отражается вверх относительно этой оси.
Для каждой точки преобразование имеет вид
\[(x;y)\longrightarrow(x;|y|).\]Поэтому график \(y=|f(x)|\) целиком расположен на оси \(Ox\) или выше неё.
На рисунке серым показан исходный график, а цветом — результат преобразования.
Преобразование \(y=f(|x|)\)
В выражении \(y=f(|x|)\) модуль применяется к аргументу.
Сначала сохраняют часть графика \(y=f(x)\), расположенную при \(x\ge0\). Затем эту правую часть отражают относительно оси \(Oy\).
Полученный график всегда симметричен относительно оси \(Oy\).
Левая часть исходного графика при \(x<0\) не используется. Она заменяется отражением правой части.
Несколько преобразований одновременно
Формула
\[y=A f\bigl(B(x-h)\bigr)+m\]может задавать сразу несколько преобразований:
— \(B\) — сжатие или растяжение вдоль оси \(Ox\);
— отрицательное \(B\) — дополнительно отражение относительно оси \(Oy\);
— \(h\) — горизонтальный сдвиг;
— \(A\) — сжатие или растяжение вдоль оси \(Oy\);
— отрицательное \(A\) — дополнительно отражение относительно оси \(Ox\);
— \(m\) — вертикальный сдвиг.
Если точка \((x_0;y_0)\) принадлежит графику \(y=f(x)\), то соответствующая точка преобразованного графика имеет координаты
\[\left(h+\frac{x_0}{B};\;Ay_0+m\right).\]Например, график
\[y=2(x-3)^2-1\]получается из \(y=x^2\) растяжением вдоль оси \(Oy\) в \(2\) раза, сдвигом вправо на \(3\) и вниз на \(1\). Его вершина находится в точке \((3;-1)\).
Главное
— \(y=f(x)+m\) — сдвиг вверх или вниз.
— \(y=f(x-h)\) — сдвиг вправо на \(h\).
— \(y=Af(x)\) изменяет ординаты точек в \(|A|\) раз.
— \(y=f(Bx)\) изменяет абсциссы точек в \(\frac{1}{|B|}\) раза.
— \(y=-f(x)\) — отражение относительно оси \(Ox\).
— \(y=f(-x)\) — отражение относительно оси \(Oy\).
— В \(y=|f(x)|\) изменяются значения функции.
— В \(y=f(|x|)\) изменяется аргумент функции.
— Преобразования снаружи функции действуют на \(y\), а преобразования внутри аргумента — на \(x\).