77Преобразования и вычисления
Степень
\[a^n - \text{n - показание}, \quad \text{a - основание}\]
Примеры
a⁵ = a · a · a · a · a
2³ = 2 · 2 · 2
Свойства степеней
\[1. \ a^n \cdot a^m = a^{n+m} \qquad 3^3 \cdot 3^2 = 3^5\]
\[2. \ \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \qquad \frac{3^5}{3^2} = 3^3\]
\[3. \ (a^n)^m = a^{n \cdot m} \qquad (3^2)^4 = 3^8\]
\[4. \ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \qquad 6^n = (3 \cdot 2)^n = 3^n \cdot 2^n\]
\[5. \ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \qquad \frac{3^n}{6^n} = \left( \frac{3}{6} \right)^n\]
\[6. \ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad 2^{-3} = \frac{1}{2^3}\]
\[7. \ a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} \qquad 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\]
\[8. \ a^1 = a\]
\[9. \ a^0 = 1, \ a \neq 0\]
\[10. \ 1^n = 1\]
Задачи
\[1. \ 4^{-10} \cdot (4^3)^4 = 4^{-10} \cdot 4^{12} = 4^2 = 16\]
\[2. \ \frac{5^{12} \cdot 11^{10}}{55^{10}} = \frac{5^{12} \cdot 11^{10}}{(5 \cdot 11)^{10}} = \frac{5^{12} \cdot 11^{10}}{5^{10} \cdot 11^{10}} = 5^2 = 25\]
Корни
Чтобы найти квадратный корень, нужно ответить на вопрос
Какое число в квадрате дает число, стоящее под корнем?
Примеры
√4 = 2, т. к. 2² = 4
√16 = 4, т. к. 4² = 16
Свойства корней
\[1. \ (\sqrt{a})^2 = a \qquad (\sqrt{2})^2 = 2\]
\[2. \ \sqrt{a^2} = |a| \qquad \sqrt{(-3)^2} = 3\]
\[3. \ (\sqrt[n]{a})^n = a\]
\[4. \ \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \qquad \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8} = 2\]
\[5. \ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\]
ВАЖНО
Арифметический корень — всегда неотрицательное значение, то есть √a ≥ 0, поэтому нужен модуль
Задачи
\[1. \ \sqrt{27^4} = \sqrt{(27^2)^2} = 27^2 = 729\]
\[2. \ 3\sqrt{19} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{38} = 3\sqrt{19} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{19 \cdot 2} = 3\sqrt{19} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{19} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 19 \cdot 3 \cdot 2 = 342\]
ВАЖНО
Складывать корни с разными подкоренными выражениями нельзя: √a + √b
Задачи
\[1. \ \frac{2x}{x-3} + \frac{6}{3-x} = \frac{2x}{x-3} - \frac{6}{x-3} = \frac{2x-6}{x-3} = \frac{2(x-3)}{x-3} = 2, \ x \neq 3\]
\[2. \frac{y^2+9}{y^2-9} - \frac{y}{y-3} = \frac{y^2+9}{(y-3)(y+3)} - \frac{y}{y-3} = \frac{y^2+9 - y(y+3)}{(y-3)(y+3)} =\frac{y^2+9-y^2-3y}{(y-3)(y+3)} = \frac{-3(y-3)}{(y-3)(y+3)} = -\frac{3}{y+3}, \ y \neq \pm 3\]
\[3. \ \frac{x^2-25}{x^2+4x} \cdot \frac{x+4}{2x-10} = \frac{(x-5)(x+5)}{x(x+4)} \cdot \frac{x+4}{2(x-5)} = \frac{(x-5)(x+5)(x+4)}{x(x+4)2(x-5)} = \frac{x+5}{2x}, \ x \neq 0, \ x \neq -4, \ x \neq 5\]
Решите задачи, чтобы усвоить материал
Решить в Личном КабинетеНайдите значение выражения \(\frac{7(m^5)^6 + 11(m^3)^{10}}{(3m^{15})^2}\).
Определите значение выражения \[\frac{a^{14} \cdot (b^4)^3}{(a \cdot b)^{12}}\] при \(a = 3\) и \(b = \sqrt{3}\).