Показательные уравнения и неравенства

Показательными называют уравнения и неравенства, в которых переменная находится в показателе степени. При их решении стараются привести обе части к степеням с одинаковым основанием, а затем сравнить показатели.

Основная идея

Показательная функция имеет вид

\[y=a^x,\]

где

\[a>0, \qquad a\ne1.\]

Если основания степеней одинаковые, то равенство степеней означает равенство показателей:

\[a^{f(x)}=a^{g(x)} \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=g(x).\]

Например:

\[2^{x+1}=8.\]

Представим \(8\) как степень двойки:

\[8=2^3.\]

Тогда

\[2^{x+1}=2^3,\]\[x+1=3,\]\[x=2.\]

В показательных неравенствах нужно учитывать основание степени:

\[a^{f(x)}>a^{g(x)}.\]

Если \(a>1\), знак неравенства между показателями сохраняется:

\[f(x)>g(x).\]

Если \(0<a<1\), знак меняется на противоположный:

\[f(x)<g(x).\]

Приведение к одинаковому основанию

Если обе части можно представить как степени одного числа, достаточно приравнять показатели.

Решим уравнение

\[9^{x-1}=27.\]

Представим обе части как степени числа \(3\):

\[9=3^2, \qquad 27=3^3.\]

Тогда

\[3^{2(x-1)}=3^3.\]

Следовательно,

\[2(x-1)=3,\]\[2x-2=3,\]\[x=\frac{5}{2}.\]

Вынесение общего множителя

Если в уравнении встречаются степени с одинаковым основанием и близкими показателями, можно вынести меньшую степень за скобку.

Например:

\[3^{x+1}-2\cdot3^x=9.\]

Поскольку \(3^{x+1}=3\cdot3^x\), получаем

\[3\cdot3^x-2\cdot3^x=9.\]

Вынесем \(3^x\) за скобку:

\[3^x(3-2)=9,\]\[3^x=9,\]\[3^x=3^2.\]

Отсюда

\[x=2.\]

Замена переменной

Если в уравнении встречаются выражения \(a^{2x}\) и \(a^x\), удобно выполнить замену

\[t=a^x.\]

При этом обязательно учитывается условие

\[t>0.\]

Решим уравнение

\[4^x-5\cdot2^x+4=0.\]

Заметим, что

\[4^x=(2^x)^2.\]

Введём замену

\[t=2^x, \qquad t>0.\]

Получаем квадратное уравнение

\[t^2-5t+4=0.\]

Разложим левую часть на множители:

\[(t-1)(t-4)=0.\]

Отсюда

\[t=1\]

или

\[t=4.\]

Возвращаемся к переменной \(x\):

\[2^x=1 \quad \Longrightarrow \quad x=0,\]\[2^x=4 \quad \Longrightarrow \quad x=2.\]

Ответ: \(0\) и \(2\).

Показательные неравенства при \(a>1\)

Если основание больше единицы, показательная функция возрастает. Поэтому знак неравенства сохраняется.

Например:

\[5^{2x-1}>25.\]

Представим \(25\) как степень пятёрки:

\[25=5^2.\]

Тогда

\[5^{2x-1}>5^2.\]

Поскольку \(5>1\), получаем

\[2x-1>2,\]\[2x>3,\]\[x>\frac{3}{2}.\]

Показательные неравенства при \(0<a<1\)

Если основание находится между нулём и единицей, показательная функция убывает. Поэтому при сравнении показателей знак неравенства меняется.

Решим неравенство

\[\left(\frac13\right)^{2x-1}\ge27.\]

Представим правую часть с тем же основанием:

\[27=3^3=\left(\frac13\right)^{-3}.\]

Получаем

\[\left(\frac13\right)^{2x-1} \ge \left(\frac13\right)^{-3}.\]

Поскольку

\[0<\frac13<1,\]

знак неравенства между показателями меняется:

\[2x-1\le-3.\]

Тогда

\[2x\le-2,\]\[x\le-1.\]

Ответ:

\[x\in(-\infty;-1].\]

Главное

В показательном уравнении переменная находится в показателе степени. Если основания одинаковые, можно перейти к сравнению показателей. При основании \(a>1\) знак показательного неравенства сохраняется, а при \(0<a<1\) меняется на противоположный. Степени с близкими показателями можно преобразовывать вынесением общего множителя. В уравнениях с выражениями \(a^{2x}\) и \(a^x\) удобно использовать замену \(t=a^x\), учитывая условие \(t>0\).