Параметр: количество корней, отбор решений и плоскость xOa

Во многих задачах с параметром не требуется находить сами корни. Вместо этого нужно определить значения параметра, при которых уравнение имеет ровно один, два, три или другое количество решений.

Главный вопрос в таких задачах:

\[\text{как меняется количество допустимых значений }x\text{ при изменении }a?\]

Здесь особенно важно учитывать не только найденные корни, но и ограничения исходного уравнения, совпадение корней и границы промежутков.

Для исследования таких задач можно использовать как обычные алгебраические методы, так и плоскость \(xOa\).

Как считать количество корней

Корень уравнения — это значение \(x\), которое удовлетворяет исходному уравнению при выбранном значении параметра \(a\).

Например,

\[x^2-2x-a=0.\]

Рассмотрим дискриминант:

\[D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-a)=4+4a.\]

Если

\[a>-1,\]

то \(D>0\), поэтому имеются два различных корня.

Если

\[a=-1,\]

то \(D=0\), поэтому имеется один корень.

Если

\[a<-1,\]

то действительных корней нет.

Значение \(a=-1\) является границей, при которой количество решений меняется.

Совпадение найденных корней

Если уравнение удалось разложить на множители, нужно проверить, не совпадают ли полученные корни.

Например,

\[(x-a)(x-2)=0.\]

Отсюда

\[x=a\quad\text{или}\quad x=2.\]

При

\[a\ne2\]

это два различных корня.

Но при

\[a=2\]

обе записи дают одно значение:

\[x=2.\]

Поэтому при \(a=2\) корень один, а не два.

В задачах на количество решений всегда считаются различные значения \(x\).

Отбор допустимых решений

Не каждый найденный корень обязательно является решением исходного уравнения.

Например,

\[\frac{(x-a)(x-2)}{x-2}=0.\]

После сокращения может показаться, что

\[x=a.\]

Но исходное выражение имеет ограничение

\[x\ne2.\]

Поэтому если

\[a=2,\]

полученное значение \(x=2\) использовать нельзя.

При \(a=2\) исходное уравнение решений не имеет.

Такие ограничения нужно сохранять на протяжении всего решения.

Корни на заданном промежутке

Иногда требуется определить количество корней не на всей числовой прямой, а только на заданном промежутке.

Например, рассматривается уравнение

\[x^2-2x=a\]

при условии

\[0\le x\le3.\]

Даже если само уравнение имеет два действительных корня, один из них может находиться вне указанного промежутка.

Поэтому после нахождения корней необходимо выполнить отбор:

\[x\in[0;3].\]

В таких задачах особенно важны значения параметра, при которых корень попадает на границу промежутка.

Подставим \(x=0\):

\[a=0.\]

Подставим \(x=3\):

\[a=3.\]

Также нужно учитывать значение параметра, соответствующее вершине параболы:

\[x=1,\qquad a=-1.\]

Именно значения

\[-1,\quad0,\quad3\]

могут разделять случаи с разным количеством допустимых корней.

Что такое плоскость xOa

В обычной координатной плоскости используются координаты \(x\) и \(y\).

В задачах с параметром иногда удобно заменить вертикальную координату \(y\) параметром \(a\).

Получается плоскость \(xOa\):

— по горизонтальной оси откладывается \(x\);

— по вертикальной оси откладывается \(a\).

Каждая точка \((x;a)\) показывает пару значений, при которой выполняется исходное условие.

Например,

\[x^2-2x=a.\]

Выразим параметр:

\[a=x^2-2x=(x-1)^2-1.\]

На плоскости \(xOa\) это обычная парабола.

Если зафиксировать конкретное значение параметра, например

\[a=2,\]

на плоскости \(xOa\) ему соответствует горизонтальная прямая.

Количество её пересечений с построенным множеством равно количеству решений исходного уравнения относительно \(x\).

Как читать рисунок на плоскости xOa

Рассмотрим ту же параболу

\[a=(x-1)^2-1.\]

Её наименьшее значение параметра:

\[a=-1.\]

Поэтому:

при \(a<-1\) горизонтальная прямая не пересекает параболу — корней нет;

при \(a=-1\) имеется одна точка пересечения — один корень;

при \(a>-1\) имеются две точки пересечения — два корня.

По сути, мы двигаем горизонтальную прямую \(a=\text{const}\) снизу вверх и следим, сколько раз она пересекает построенное множество.

Почему плоскость xOa удобна

Иногда после преобразований параметр легко выражается через \(x\):

\[a=f(x).\]

Тогда вместо большого количества отдельных случаев можно построить один график на плоскости \(xOa\).

После этого задача на количество решений превращается в задачу на количество пересечений горизонтальной прямой

\[a=a_0\]

с этим графиком.

Плоскость \(xOa\) особенно удобна, если:

— требуется найти количество корней;

— параметр можно выразить через \(x\);

— получившийся график хорошо знаком;

— у функции есть экстремумы;

— имеются несколько ветвей;

— нужно учитывать ограничения по \(x\).

Несколько ветвей на плоскости xOa

После преобразований иногда получается несколько возможных зависимостей параметра от \(x\).

Например, из уравнения с модулем могут появиться две ветви:

\[a=f_1(x)\]

и

\[a=f_2(x).\]

Тогда на одной плоскости строятся обе части.

Для каждого фиксированного \(a\) считается общее количество различных допустимых значений \(x\), полученных из всех ветвей.

Если две ветви проходят через одну и ту же точку \((x;a)\), эта точка соответствует одному решению \(x\), а не двум.

Выколотые точки

Если исходное выражение имеет ограничения, их нужно показывать и при работе на плоскости \(xOa\).

Например, если

\[x\ne2,\]

то все точки построенного множества с координатой \(x=2\), которые появились только после неравносильного преобразования, должны быть исключены.

Такие точки удобно изображать выколотыми.

Горизонтальная прямая может геометрически проходить через выколотую точку, но эта точка не считается решением исходной задачи.

Граничные значения параметра

Количество решений обычно меняется не случайно, а в специальных положениях.

Особенно важно искать значения параметра, при которых:

— горизонтальная прямая касается графика;

— прямая проходит через вершину или другую точку экстремума;

— корень попадает на границу заданного промежутка;

— появляется или исчезает допустимая ветвь;

— два корня совпадают;

— точка становится запрещённой из-за ОДЗ;

— несколько ветвей пересекаются.

Именно эти значения нужно вычислять точно.

После их нахождения удобно разделить ось параметра на промежутки и проверить количество решений в каждом случае.

Как проводить отбор решений

Если задача содержит дополнительное условие, сначала находятся все возможные решения, а затем оставляются только подходящие.

Например, могут потребовать:

\[x>0,\]

\[x\in[1;5],\]

или наличие ровно двух различных положительных корней.

Тогда недостаточно установить, что уравнение вообще имеет два корня.

Нужно проверить каждое из дополнительных условий.

Если требуется ровно два положительных корня, должны одновременно выполняться условия:

— оба корня существуют;

— корни различны;

— первый корень положителен;

— второй корень положителен.

Отбор является частью решения, а не отдельной формальностью после получения ответа.

Общий алгоритм задачи на количество корней

— Определить переменную \(x\) и параметр \(a\).

— Записать ограничения исходного выражения.

— Преобразовать уравнение удобным способом.

— Найти значения параметра, при которых количество решений может измениться.

— Учесть совпадение корней.

— Учесть ОДЗ и дополнительные ограничения на \(x\).

— Если удобно, выразить \(a\) через \(x\) и построить множество решений на плоскости \(xOa\).

— Провести горизонтальные прямые \(a=\text{const}\) мысленно или на рисунке.

— Посчитать различные допустимые точки пересечения.

— Отдельно проверить все граничные значения параметра.

Главное

— В задачах на количество корней считаются различные допустимые значения \(x\).

— Два совпавших корня дают одно решение.

— Найденный корень нужно проверять по ОДЗ и дополнительным условиям.

— Если решения требуются на промежутке, корни вне этого промежутка не учитываются.

— На плоскости \(xOa\) горизонтальная координата — \(x\), вертикальная — параметр \(a\).

— Если построено множество всех пар \((x;a)\), количество решений при фиксированном \(a\) равно количеству допустимых пересечений с горизонтальной прямой \(a=\text{const}\).

— Особое внимание нужно уделять касаниям, экстремумам, границам промежутков, совпадению корней и выколотым точкам.