99Параметр и графический метод
Графический метод в задачах с параметром основан на простой идее: решения уравнения можно представить как точки пересечения графиков.
Если уравнение удалось записать в виде
\[f(x)=g(x),\]
то его корни — это значения \(x\), при которых графики \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) пересекаются.
В задачах с параметром один из графиков обычно зависит от \(a\). При изменении \(a\) он перемещается или изменяет свою форму, поэтому меняется и количество точек пересечения.
Главное при таком решении — понять, что именно делает параметр с графиком.
Параметр как горизонтальная прямая
Один из самых удобных случаев:
\[f(x)=a.\]
Строится один неизменный график
\[y=f(x),\]
а параметру соответствует горизонтальная прямая
\[y=a.\]
Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения этой прямой с графиком функции.
Например,
\[x^2-4x+3=a.\]
Преобразуем левую часть:
\[x^2-4x+3=(x-2)^2-1.\]
Получаем
\[(x-2)^2-1=a.\]
Строим параболу
\[y=(x-2)^2-1\]
и рассматриваем горизонтальную прямую \(y=a\).
По рисунку видно:
при \(a<-1\) пересечений нет;
при \(a=-1\) прямая касается параболы — один корень;
при \(a>-1\) имеются две точки пересечения — два корня.
Значение \(a=-1\) является критическим: именно при нём меняется количество решений.
Что может делать параметр с графиком
Параметр не всегда задаёт горизонтальную прямую.
Например,
\[y=f(x)+a\]
означает вертикальное перемещение графика.
При увеличении \(a\) график поднимается, при уменьшении — опускается.
Запись
\[y=f(x-a)\]
задаёт горизонтальное перемещение графика.
При положительном \(a\) график \(y=f(x)\) сдвигается вправо на \(a\).
Параметр может также задавать коэффициент прямой:
\[y=ax+b.\]
Если \(b\) остаётся постоянным, изменение \(a\) меняет наклон прямой.
Поэтому перед построением полезно определить:
— какой график остаётся неподвижным;
— какой график зависит от параметра;
— как именно изменение параметра влияет на этот график.
Параметр как наклон прямой
Рассмотрим уравнение
\[x^2+1=ax.\]
Его можно представить как пересечение графиков
\[y=x^2+1\]
и
\[y=ax.\]
Парабола остаётся неподвижной, а прямая \(y=ax\) при изменении параметра поворачивается вокруг начала координат.
При некоторых значениях \(a\) прямая не пересекает параболу.
В некоторый момент она впервые касается параболы.
После этого появляются две точки пересечения.
Касание здесь является границей между случаями с разным количеством решений.
Точное значение параметра нельзя определять только по рисунку. Его нужно вычислить.
Для данного примера исходное уравнение имеет вид
\[x^2-ax+1=0.\]
При касании имеется один корень, поэтому
\[D=a^2-4=0.\]
Отсюда
\[a=\pm2.\]
Следовательно:
при \(|a|<2\) решений нет;
при \(a=\pm2\) имеется один корень;
при \(|a|>2\) имеются два корня.
График помогает увидеть, какие случаи возможны, а вычисления дают точные границы.
Касание и критические положения
В задачах на количество корней особенно важны положения, в которых количество точек пересечения меняется.
Чаще всего это происходит, когда:
— графики касаются друг друга;
— точка пересечения попадает в конец заданного промежутка;
— пересечение появляется или исчезает из-за области определения;
— два различных решения совпадают;
— подвижный график проходит через особую точку неподвижного графика.
Такие положения нужно находить в первую очередь.
После этого значения параметра разбивают числовую прямую на промежутки и определяют количество решений на каждом из них.
Ограничения на графике
Нельзя забывать про область допустимых значений.
Например, если после преобразований получилось
\[y=\sqrt{4-x^2},\]
то график существует только при
\[-2\le x\le2.\]
Если исходная задача дополнительно требует \(x>0\), на рисунке нужно учитывать только часть графика справа от оси \(Oy\).
Точка пересечения, которая видна на продолжении графика, но не входит в допустимую область, решением не является.
То же самое относится к выколотым точкам. Если определённое значение \(x\) запрещено исходным выражением, соответствующую точку нельзя считать решением.
Количество корней и количество пересечений
Основное правило графического метода:
\[\text{число корней}=\text{число допустимых точек пересечения графиков}.\]
Если графики пересекаются в трёх различных точках, уравнение имеет три корня.
Если они касаются в одной точке, эта точка даёт один корень.
Если несколько частей построения проходят через одну и ту же точку, её нельзя считать несколько раз.
Важно считать именно различные допустимые значения \(x\).
Как строить графики быстрее
В параметрах обычно не требуется строить каждый график с нуля по точкам.
Нужно узнавать основные графики и использовать преобразования.
Например,
\[y=(x-3)^2+2\]
получается из \(y=x^2\) сдвигом на 3 вправо и на 2 вверх.
График
\[y=|x-2|\]
получается из \(y=|x|\) сдвигом вправо.
График
\[y=\frac1{x+1}\]
получается из \(y=\frac1x\) сдвигом влево.
Чем точнее известны свойства основных функций, тем меньше вычислений требуется в графической задаче с параметром.
Общий алгоритм графического метода
— Преобразовать исходное условие к удобному графическому виду.
— Определить неподвижный и зависящий от параметра графики.
— Построить неподвижный график.
— Понять, как движется или изменяется второй график при изменении \(a\).
— Найти критические положения, при которых меняется количество пересечений.
— Вычислить точные значения параметра для этих положений.
— Разбить значения параметра на получившиеся случаи.
— Для каждого случая определить количество допустимых точек пересечения.
— Проверить ограничения исходной задачи.
Главное
— Корни уравнения можно рассматривать как точки пересечения графиков.
— В записи \(f(x)=a\) параметру соответствует горизонтальная прямая \(y=a\).
— Параметр может сдвигать график, изменять его наклон или другие характеристики.
— Количество решений меняется в критических положениях: при касании, прохождении через границу или изменении допустимой части графика.
— График помогает увидеть структуру решения, но точные значения параметра нужно вычислять.
— Учитываются только допустимые точки пересечения исходной задачи.
— При подсчёте корней одна точка пересечения даёт один корень.