Основные тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — это равенства, которые выполняются при всех допустимых значениях угла. Они помогают упрощать выражения, находить неизвестные значения и переходить от одной тригонометрической функции к другой.

Главное тригонометрическое тождество имеет вид

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.\]

Оно следует из уравнения окружности радиуса \(1\). Точка, соответствующая углу \(\alpha\), имеет координаты \((\cos\alpha;\sin\alpha)\), поэтому сумма квадратов её координат равна единице.

Следствия из основного тождества

Из равенства

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]

можно выразить квадрат синуса или квадрат косинуса:

\[\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha,\]

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha.\]

Например, если \(\cos\alpha=\frac35\), то

\[\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}.\]

Отсюда нельзя сразу утверждать, что \(\sin\alpha=\frac45\). Возможны два значения:

\[\sin\alpha=\pm\frac45.\]

Знак синуса определяется четвертью, в которой находится угол.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Тангенс определяется формулой

\[\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.\]

Эта формула имеет смысл только при условии

\[\cos\alpha\ne0.\]

Котангенс определяется формулой

\[\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.\]

Здесь должно выполняться условие

\[\sin\alpha\ne0.\]

Если тангенс и котангенс существуют одновременно, то

\[\tg\alpha\cdot\ctg\alpha=1.\]

Действительно,

\[\tg\alpha\cdot\ctg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=1.\]

Тождества с тангенсом и котангенсом

Разделим обе части основного тождества на \(\cos^2\alpha\):

\[\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac1{\cos^2\alpha}.\]

Получаем

\[\tg^2\alpha+1=\frac1{\cos^2\alpha}.\]

Обычно это тождество записывают так:

\[1+\tg^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}.\]

Оно выполняется при \(\cos\alpha\ne0\).

Если основное тождество разделить на \(\sin^2\alpha\), получим

\[\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac1{\sin^2\alpha},\]

откуда

\[1+\ctg^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}.\]

Это тождество выполняется при \(\sin\alpha\ne0\).

Как применять тождества

При упрощении выражений полезно искать части основных формул.

Например, упростим выражение

\[\frac{1-\cos^2x}{\sin x}.\]

По основному тригонометрическому тождеству

\[1-\cos^2x=\sin^2x.\]

Поэтому

\[\frac{1-\cos^2x}{\sin x}=\frac{\sin^2x}{\sin x}=\sin x.\]

Преобразование допустимо при \(\sin x\ne0\), поскольку в исходном выражении синус находится в знаменателе.

Рассмотрим ещё одно выражение:

\[(1+\tg^2x)\cos^2x.\]

Используем тождество

\[1+\tg^2x=\frac1{\cos^2x}.\]

Тогда

\[(1+\tg^2x)\cos^2x=\frac1{\cos^2x}\cdot\cos^2x=1.\]

Как выбрать нужное тождество

Если в выражении встречаются \(\sin^2\alpha\) и \(\cos^2\alpha\), обычно используется формула

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.\]

Если встречаются тангенс и квадрат косинуса, удобно использовать

\[1+\tg^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}.\]

Если встречаются котангенс и квадрат синуса, подходит формула

\[1+\ctg^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}.\]

Если в одном выражении одновременно присутствуют синус, косинус и тангенс, тангенс часто заменяют отношением

\[\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.\]

Аналогично котангенс можно заменить отношением

\[\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.\]

Главное

— Основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

— Из него следуют формулы \(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\) и \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\).

— \(\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), причём \(\cos\alpha\ne0\).

— \(\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\), причём \(\sin\alpha\ne0\).

— \(1+\tg^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}\).

— \(1+\ctg^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}\).

— При извлечении квадратного корня из \(\sin^2\alpha\) или \(\cos^2\alpha\) нужно учитывать знак функции.